Problema di Cauchy
sto impazzendo...le equazioni differenziali non le capirò mai!! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
vi prego aiutatemi::
risolvere il seguente problema di Cauchy:
$y'+(1/x-1)y = (e^(2x))/x$
$y(1) = 1$
detreminare la soluzione che tende ad $1$ quando $x$ tende a $0$
allora...non so proprio come fare...vi dico quello ke ho provato a fare:
calcolo l'integrale generale dell'omogenea associata
$y'+(1/x-1)y = 0$
$(y')/y= - 1/x +1$
$ln y= -ln|x| + x +k $
$y= (1/|x| +e^x)c $ con $c= +- e^k$
ora per trovare l'equazione copleta dovrei determinare in integrale particolare $bar y$
con il metodo di lagrage
$bar y (x) = gamma(x)(1/|x| +e^x)$
$gamma'(x)(1/|x| +e^x)=(e^(2x))/x$
$gamma'(x)= (e^(2x)/x)(|x|/(1+|x|e^x))$
ora dovrei integrare il ssecondo membro?
e poi??
grazie infinite
ila
vi prego aiutatemi::
risolvere il seguente problema di Cauchy:
$y'+(1/x-1)y = (e^(2x))/x$
$y(1) = 1$
detreminare la soluzione che tende ad $1$ quando $x$ tende a $0$
allora...non so proprio come fare...vi dico quello ke ho provato a fare:
calcolo l'integrale generale dell'omogenea associata
$y'+(1/x-1)y = 0$
$(y')/y= - 1/x +1$
$ln y= -ln|x| + x +k $
$y= (1/|x| +e^x)c $ con $c= +- e^k$
ora per trovare l'equazione copleta dovrei determinare in integrale particolare $bar y$
con il metodo di lagrage
$bar y (x) = gamma(x)(1/|x| +e^x)$
$gamma'(x)(1/|x| +e^x)=(e^(2x))/x$
$gamma'(x)= (e^(2x)/x)(|x|/(1+|x|e^x))$
ora dovrei integrare il ssecondo membro?
e poi??
grazie infinite
ila
Risposte
Appunto è questo il fatto strano. Tu hai già trovato una sola soluzione, quindi al limite ti puoi chiedere se essa tende a $1$ per $x$ che tende a $0$; e però non ci tende... se fai il limite...
si appunto ...questa soluzione(che dovrebbe essere l'unica) non tende ad $1$ per $x$ che tende a $0$....
....è per questo che mi blocco...
....è per questo che mi blocco...
Ma non è che ti chiede di calcolare prima l'unica soluzione per cui $y(1) = 1$ e poi l'unica per cui il limite è $1$ quando $x$ tende a $0$?
ok e se così fosse....il problema rimane lo stesso : come detreminare la soluzione che tende ad $1$ quando $x$ tende a $0$ ? 
Chiedo scusa a ilyily per aver letto solo di sfuggita il problema che le è stato sottoposto e aver ingenerato confusione. Occorre dire subito che il problema già di per sè è non consistente, ossia con condizioni in numero superiore ai gradi di libertà del problema stesso.
E' evidente che l'aver imposto l'equazione differenziale del primo ordine...
$x*y’+(1-x)*y-e^(2x)=0$ (1)
... con la condizione $y(1)=1$ implica che, se tale soluzione esiste, essa è anche unica e non è detto possa soddisfare ulteriori condizioni.
Ammesso poi che, come sostiene lore, i problemi in realtà fossero due e nel secondo si chiedesse di trovare la soluzione che tende ad $1$ per $x$ che tende a $0$, anche in questo caso ci troveremmo di fronte ad un problema non consistente. Osservando infatti l'integrale generale della (1)...
$y=e^x*(e^x+c)/x$ (2)
... si vede subito che per qualunque valore di $c$ il punto $x=0$ è una singolarità della soluzione, tranne che per il valore di $c$ che annulla il termine al numeratore $e^x+c$ per $x=0$. Tale condizione si realizza per $c=-1$ ma a questo punto non è possibile imporre l'ulteriore vincolo di fissare limite della funzione per $x$ tendente a $0$. Che questa condizione sia poi verificata è solo un caso 'fortuito', mentre a priori un problema così formulato deve essere considerato irrisolvibile.
Mi auguro di essere stato chiaro...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
E' evidente che l'aver imposto l'equazione differenziale del primo ordine...
$x*y’+(1-x)*y-e^(2x)=0$ (1)
... con la condizione $y(1)=1$ implica che, se tale soluzione esiste, essa è anche unica e non è detto possa soddisfare ulteriori condizioni.
Ammesso poi che, come sostiene lore, i problemi in realtà fossero due e nel secondo si chiedesse di trovare la soluzione che tende ad $1$ per $x$ che tende a $0$, anche in questo caso ci troveremmo di fronte ad un problema non consistente. Osservando infatti l'integrale generale della (1)...
$y=e^x*(e^x+c)/x$ (2)
... si vede subito che per qualunque valore di $c$ il punto $x=0$ è una singolarità della soluzione, tranne che per il valore di $c$ che annulla il termine al numeratore $e^x+c$ per $x=0$. Tale condizione si realizza per $c=-1$ ma a questo punto non è possibile imporre l'ulteriore vincolo di fissare limite della funzione per $x$ tendente a $0$. Che questa condizione sia poi verificata è solo un caso 'fortuito', mentre a priori un problema così formulato deve essere considerato irrisolvibile.
Mi auguro di essere stato chiaro...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
grazie a lupo grigio....e a tutti 
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