Problema di Cauchy
Salve, ho un dubbio, riguardante problemi di questo tipo:
y'(x)=(x+y(x))/sqrt(x)
y(0)=0
la funzione a secondo membro è definita per x>0, e nelle condizioni iniziali si cercano le soluzioni nel punto 0, ma il punto x0 non deve appartenere all'intervallo di definizione della funzione?
y'(x)=(x+y(x))/sqrt(x)
y(0)=0
la funzione a secondo membro è definita per x>0, e nelle condizioni iniziali si cercano le soluzioni nel punto 0, ma il punto x0 non deve appartenere all'intervallo di definizione della funzione?
Risposte
Hai ragione ad essere dubbioso.
Nella presentazione classica di un problema di Cauchy il punto iniziale deve essere nel dominio di definizione della funzione f che descrive la "dinamica".
Nel tuo caso f(x,y) = (x+y)/sqrt(x) non è definita in (0,0).
si può tuttavia affrontare la questione, generalizzando il setting classico, da due punti di vista.
Uno: la funzione potrebbe essere estesa per continuità anche nel punto che identifica la condizione iniziale
Due: trovare se vi sono soluzioni del problema per x>0 che abbiano limite 0 per x tendente a 0
Nella presentazione classica di un problema di Cauchy il punto iniziale deve essere nel dominio di definizione della funzione f che descrive la "dinamica".
Nel tuo caso f(x,y) = (x+y)/sqrt(x) non è definita in (0,0).
si può tuttavia affrontare la questione, generalizzando il setting classico, da due punti di vista.
Uno: la funzione potrebbe essere estesa per continuità anche nel punto che identifica la condizione iniziale
Due: trovare se vi sono soluzioni del problema per x>0 che abbiano limite 0 per x tendente a 0
Grazie, ora è chiaro
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