Problema di cauchy

[xyz34567]

Buongiorno, stavo cercando di risolvere il seguente problema di Cauchy:

[math]\begin{cases}
y' = \exp(x^2) \cdot \sin y \\
y(0) = 2
\end{cases}[/math]

Il testo chiede:
Verificare che ammette una e una sola soluzione e che essa è definita su tutto R. Tracciarne quindi un grafico qualitativo e discuterne l'integrabilità (in senso improprio) su (-0,0).
Alla prima domanda ho risolto con il teorema di esistenza e unicità (la funzione è di classe C1 su R), per quanto riguarda il grafico qualitativo y=0 e y=pigreco sono soluzioni costanti dell'equazione, quindi non possono mai essere intersecate da quella non costante (per il teorema di esistenza e unicità), la derivata in quell'intervallo è sempre positiva e quindi al funzione è sempre crescente.
Ho però delle domande sull'ultimo punto:
io ho provato a risolverlo così (ma non ne sono affatto sicuro): guardando il grafico posso vedere che y->0 per x divergente a meno infinito, dunque l'integrale con y che ottengo separando le variabili ha lo stesso carattere dell integrale di

[math]\frac{1}{t}[/math]

che è pari a

[math]\log\left(\frac{y}{2}\right)[/math]

, invertendo ottengo che

[math]y = 2 \cdot e^{\int_{0}^{x} e^{x^2} dx}[/math]

che non converge per x che tende a meno infinito, quindi la funzione non è integrabile?
Grazie mille per la disponibilità e buona giornata!

[xyz34567]

Correzione, nella domanda originale ho scritto di valutare l'integrabilità tra (-0,0), in realtà è tra

[math](-\infty, 0)[/math]

, scusate per l'errore.
Grazie ancora!

[ingres]

Mi sembra che torni tutto fino al calcolo approssimato di y per valori di x tendenti a -∞.

L'ultima affermazione però direi che non è corretta. Il valore di y così calcolato converge a zero per x tendente a -∞(come è giusto visto quanto scritto in precedenza) e per giunta come infinitesimo maggiore di qualunque forma di tipo 1/x^n. Per cui concluderei che la funzione è integrabile in senso improprio.

Nota: la soluzione esatta, molto simile a quella approssimata, è

[math]y=2\tan^{-1}\left(\tan\left(1\right)\exp\left(\int_0^{_{x}}e^{t^2}dt\right)\right)[/math]

[xyz34567]

Ti ringrazio per l'aiuto Ingres!
Però continuo a non capire perchè l'integrale converga in senso improprio: se ho capito bene il tuo commento la mia analisi è corretta, dunque la soluzione approssimata che ho ottenuto ha comunque (per il criterio del confronto asintotico) lo stesso carattere di quella esatta.
Studiamo quindi quella per comodità:
Se la integro ottengo

[math]\int_{0}^{x} 2 \cdot e^{\int_{0}^{x} e^{t^2} \,dt} \,dx[/math]

,
ora sicuramente l'integrale interno dell'esponenziale diverge per confronto in quanto la funzione tende a +oo per x divergente ed è dunque sicuramente definitivamente maggiore di qualunque costante positiva, il cui integrale diverge; mi resta dunque

[math]\int_{0}^{x} 2 \cdot e^{k(x)} \,dx[/math]

con k(x)->+oo per x->-oo, tale integrale diverge sempre per confronto con costante positiva. Dunque l'integrale improprio diverge e l'originale diverge per confronto asintotico.
Perchè dunque dici che la funzione è integrabile?
Grazie ancora per la disponibilità e buona giornata!

[ingres]

Il fatto è che l'integrale cambia segno quando ti muovi verso sinistra. Considera ad es. banalmente

[math]y=\int_0^{x}t^2dt=\frac{x^3}{3}[/math]

Anche se l'integranda è sempre positiva la funzione ottenuta integrando tende a -oo quando x->-oo.

Peraltro hai ottenuto l'espressione approssimata di y considerando che doveva tendere a zero per x-> -oo. A questo punto non è possibile che ti venga una y che diverge per x -> -oo.

[xyz34567]

Grazie ancora Ingres, in effetti avevo già visto che il mio risultato non poteva essere giusto (per questo nel post originale avevo scritto che avevo molti dubbi in merito).
Ora credo di aver capito il punto che mi sfuggiva, effettivamente io mi basavo sul fatto che la funzione fosse positiva senza pensare al fato che in questo caso l'integrale diventa negativo comunque, nel caso del nostro esercizio non è possibile notarlo risolvendo direttamente l'integrale ma essendo esso pari a

[math]\int_{0}^{x} e^{t^2} dt[/math]

la derivata prima di quella funzione integrale è sempre positiva e l'integrale si annulla in zero, quindi per x->-oo diverge ma negativamente, questo cambia il calcolo e lo fa convergere.
Grazie ancora