Problema di cauchy

[xyz34567]

Buongiorno, stavo cercando di risolvere il seguente problema di Cauchy:

[math]\begin{cases}
y' = \exp(x^2) \cdot \sin y \\
y(0) = 2
\end{cases}[/math]

Il testo chiede:
Verificare che ammette una e una sola soluzione e che essa è definita su tutto R. Tracciarne quindi un grafico qualitativo e discuterne l'integrabilità (in senso improprio) su (-0,0).
Alla prima domanda ho risolto con il teorema di esistenza e unicità (la funzione è di classe C1 su R), per quanto riguarda il grafico qualitativo y=0 e y=pigreco sono soluzioni costanti dell'equazione, quindi non possono mai essere intersecate da quella non costante (per il teorema di esistenza e unicità), la derivata in quell'intervallo è sempre positiva e quindi al funzione è sempre crescente.
Ho però delle domande sull'ultimo punto:
io ho provato a risolverlo così (ma non ne sono affatto sicuro): guardando il grafico posso vedere che y->0 per x divergente a meno infinito, dunque l'integrale con y che ottengo separando le variabili ha lo stesso carattere dell integrale di

[math]\frac{1}{t}[/math]

che è pari a

[math]\log\left(\frac{y}{2}\right)[/math]

, invertendo ottengo che

[math]y = 2 \cdot e^{\int_{0}^{x} e^{x^2} dx}[/math]

che non converge per x che tende a meno infinito, quindi la funzione non è integrabile?
Grazie mille per la disponibilità e buona giornata!

[xyz34567]

Correzione, nella domanda originale ho scritto di valutare l'integrabilità tra (-0,0), in realtà è tra

[math](-\infty, 0)[/math]

, scusate per l'errore.
Grazie ancora!

[ingres]

Mi sembra che torni tutto fino al calcolo approssimato di y per valori di x tendenti a -∞.

L'ultima affermazione però direi che non è corretta. Il valore di y così calcolato converge a zero per x tendente a -∞(come è giusto visto quanto scritto in precedenza) e per giunta come infinitesimo maggiore di qualunque forma di tipo 1/x^n. Per cui concluderei che la funzione è integrabile in senso improprio.

Nota: la soluzione esatta, molto simile a quella approssimata, è

[math]y=2\cdot\tan^{-1}\left(\tan\left(1\right)\cdot\mathrm{e}^{\int_0^{_{x}}t^2dt}\right)[/math]

[xyz34567]

Ti ringrazio per l'aiuto Ingres!
Però continuo a non capire perchè l'integrale converga in senso improprio: se ho capito bene il tuo commento la mia analisi è corretta, dunque la soluzione approssimata che ho ottenuto ha comunque (per il criterio del confronto asintotico) lo stesso carattere di quella esatta.
Studiamo quindi quella per comodità:
Se la integro ottengo

[math]\int_{0}^{x} 2 \cdot e^{\int_{0}^{x} e^{t^2} \,dt} \,dx[/math]

,
ora sicuramente l'integrale interno dell'esponenziale diverge per confronto in quanto la funzione tende a +oo per x divergente ed è dunque sicuramente definitivamente maggiore di qualunque costante positiva, il cui integrale diverge; mi resta dunque

[math]\int_{0}^{x} 2 \cdot e^{k(x)} \,dx[/math]

con k(x)->+oo per x->-oo, tale integrale diverge sempre per confronto con costante positiva. Dunque l'integrale improprio diverge e l'originale diverge per confronto asintotico.
Perchè dunque dici che la funzione è integrabile?
Grazie ancora per la disponibilità e buona giornata!