Problema di Cauchy

[ottavio.coccorese]

Mi sono imbatutto in questo problema, e non riesco a venirne a capo, non so proprio come procedere; avrei bisogno di un aiuto, anche di un'idea dalla quale partire per abbozzare una soluzione.

Sia $ f :R rarr R $ una funzione di classe $ C^1 $ i cui valori siano compresi tra due costanti maggiori di 0. Stabilire per quali valori di $ xoin R $ le soluzioni del problema di Cauchy $ { ( x'(t)=f(x(t)) ),( x(0)= xo ):} $ sono rispettivamente definite su tutto $ R $ e strettamente monotone. Calcolare inoltre il limite $ lim_(t -> +∞) x(t) $.

[Ernesto011]

Devi applicare il teorema di esistenza globale per l'esistenza in tutto $R$ (infatti $f$ è limitata).
Poi dato che $x'(t)=f(x(t))$ e $L<=f(x(t))<=M$ con $0 Il limite esiste dato che $x(t)$ è monotona, supponiamo per assurdo che si abbia $l in R$ allora avrei
$ lim_(t -> +∞) x'(t)=lim_(t -> +∞) f(x(t))>=L>0$ ma per il teorema dell'asistoto dovrebbe essere 0 quel limite, quindi assurdo.
Necessariamente $l=oo$

EDIT: ah forse però non hai ancora affrontato gli studi qualitativi

[ottavio.coccorese]

"Ernesto01":Devi applicare il teorema di esistenza globale per l'esistenza in tutto $R$ (infatti $f$ è limitata).
Poi dato che $x'(t)=f(x(t))$ e $L<=f(x(t))<=M$ con $0 Il limite esiste dato che $x(t)$ è monotona, supponiamo per assurdo che si abbia $l in R$ allora avrei
$ lim_(t -> +∞) x'(t)=lim_(t -> +∞) f(x(t))>=L>0$ ma per il teorema dell'asistoto dovrebbe essere 0 quel limite, quindi assurdo.
Necessariamente $l=oo$

EDIT: ah forse però non hai ancora affrontato gli studi qualitativi

Perché in questo passaggio hai posto? $ lim_(t -> +∞) x'(t)=lim_(t -> +∞) f(x(t)) $
ps: sto per affrontare l'esame di Analisi praticamente da autodidatta e molte cose mi passano davanti agli occhi ma non rimangono in testa ahah

[Ernesto011]

Perchè se $x(t)$ soddisfa il problema di cauchy, allora sicuramente $x'(t)=f(x(t))$ (prima equazione).
Solo che questa dimostrazione usa strumenti che di solito si fanno in analisi 2 in un corso di laurea in matematica, quindi forse non è questo che cercavi. Non so quello che avete fatto a lezione purtroppo

[ottavio.coccorese]

Ti ringrazio, sei stato gentilissimo.