Problema di Cauchy

[signabokov]

Ho diversi problemi col seguente esercizio. Dimostrare che esiste un'unica soluzione $y\in C^1(\R)$ del problema di cauchy $y'=sin(x/y)$, $y(0)=1$. Provare che $y$ è pari e che \[\lim_{x\to+\infty}y(x)=+\infty.\] Essendo $sin(x/y)$ di classe $C^\infty$ sull'aperto di $\R^2$ $\{y>0\}$, essa è localmente lip in $y$ e dunque c'è esistenza ed unicità locale. Essendo inoltre \[|sin(x/y)|\leq1,\] la soluzione massimale del problema è definita per ogni $x\in\R$. Il fatto che sia pari mi pare si possa dimostrare abbastanza agevolmente verificando che anche $y(-x)$ risolve il problema e concludendo data l'unicità della soluzione. Non ho però idea di come dimostrare che $\lim_{x\to+\infty}y(x)=+\infty$. Che quel limite esista mi pare vero dato che risolvendo la disequazione \[sin(x/y)>0\] si trova che per $x>0$ ed $y> x/\pi$ la soluzione $y$ è monotona crescente. Come dimostrare però che quel limite è $+\infty$? Grazie mille.

[MasterCud]

mmm stai tentendo di utilizzare il criterio sufficiente, ma c'è qualcosa che non mi torna nei tuoi passaggi....allora con ordine:
Sia f definita e continua in un intorno rettangolare in $D$ e $ (x_0,y_0) in D$ , sia inoltre la sua derivata parziale rispetto a y continua e definita nello stesso intorno, allora f è lipschitziana rispetto a y uniformemente a x e il problema è ben posto dunque la soluzine è unica....attenzione in quanto criterio sufficiente se non verifichi tali condizioni non è assolutamente vero il viceversa.

Detto ciò prima di tutto ti studi quindi dove è definita e continua f (io a occhio direri che D è tutto $RR$ escluso il punto Y=0) inltre (0,1) è contenuto in D, fatto ciò calcoli $f_y $ è verifichi che sia definita e continua nello stesso intorno di f, se così è allora la soluzine esiste ed è unica altrimenti viceversa non puoi dire nulla.

[gabriella127]

Non ho però idea di come dimostrare che $\lim_{x\to+\infty}y(x)=+\infty$. Che quel limite esista mi pare vero dato che risolvendo la disequazione \[sin(x/y)>0\] si trova che per $x>0$ ed $y> x/\pi$ la soluzione $y$ è monotona crescente. Come dimostrare però che quel limite è $+\infty$ Grazie mille.[/quote]


Neanche io, per la verità. Se si potesse dire qualcosa sulla derivata seconda, ad es. che la funzione è convessa...
Ma anche per la derivata prima positiva, che cosa ci garantisce che da un certo x in poi sia $ y> x/pi $ ?
L'unica cosa che vedo è che $ y'(0) =0 $, poiché $ y(0) =1!= 0. $ , e che lì la funzione ha un minimo, quindi in un intorno destro di 0 $ y' $ è positivo, il che non ci porta molto lontano. Forse c'è qualcosa di semplice che mi sfugge.
Tra l'altro è una equazione omogenea, nel senso che dipende solo dal rapporto $ x/y $, per cui si potrebbe fare la sostituzione $ x/y=z $ , ma non ti viene chiesto di risolverla e anche questo mi sembra che non serva a niente.