Problema di Cauchy
Ciao a tutti!
Dopo aver passato ore ed ore nel cercare di risolverlo non riesco più a venirne a capo!
$ { ( y''-(y')/t=(8t)/(t^2+1) ),( y(1)=2(pi-2) ),( y'(1)=2pi ):} $
Faccio la prima sostituzione chiamando $z(t)=y'(t)$ e $z'(t)=y''(t)$ e quindi diventa:
$ { ( z'-z/t=(8t)/(t^2+1) ),( z(1)=2pi ):} $
Calcolo $A(t)$ che risulta $-log(t)$.. quindi $e^(-logt)$ equivale a $1/t$.
Adesso moltiplico tutto per $1/t$ e calcolo l'integrale:
$(z')/t-z/t^2=8/(t^2+1)$
da cui
$int_(1)^t d[(1/s)z(s)]ds=8int_(0)^t1/(t^2+1)$
da qui ottengo
$(z(t))/t-1=8arctant-2pi$ allora la mia $z(t)$ diventa: $z(t)=t(arctan(t)-2pi+1)$
Ora sapendo la condizione iniziale della $y(t)$ calcolo:
$ { ( y'=t(arctant-2pi+1) ),( y(1)=2(pi-2) ):} $
che integrandolo per variabili separabili (quindi integrando la parte di destra e quella di sinistra e poi trovando la $c$ con le condizioni iniziali) esce un risultato completamente diverso da quello giusto.
Se riuscite ad indicarmi dove sbaglio.. ho passato ore a cercare l'errore ma niente!
Grazie
Ciaoo
Dopo aver passato ore ed ore nel cercare di risolverlo non riesco più a venirne a capo!
$ { ( y''-(y')/t=(8t)/(t^2+1) ),( y(1)=2(pi-2) ),( y'(1)=2pi ):} $
Faccio la prima sostituzione chiamando $z(t)=y'(t)$ e $z'(t)=y''(t)$ e quindi diventa:
$ { ( z'-z/t=(8t)/(t^2+1) ),( z(1)=2pi ):} $
Calcolo $A(t)$ che risulta $-log(t)$.. quindi $e^(-logt)$ equivale a $1/t$.
Adesso moltiplico tutto per $1/t$ e calcolo l'integrale:
$(z')/t-z/t^2=8/(t^2+1)$
da cui
$int_(1)^t d[(1/s)z(s)]ds=8int_(0)^t1/(t^2+1)$
da qui ottengo
$(z(t))/t-1=8arctant-2pi$ allora la mia $z(t)$ diventa: $z(t)=t(arctan(t)-2pi+1)$
Ora sapendo la condizione iniziale della $y(t)$ calcolo:
$ { ( y'=t(arctant-2pi+1) ),( y(1)=2(pi-2) ):} $
che integrandolo per variabili separabili (quindi integrando la parte di destra e quella di sinistra e poi trovando la $c$ con le condizioni iniziali) esce un risultato completamente diverso da quello giusto.
Se riuscite ad indicarmi dove sbaglio.. ho passato ore a cercare l'errore ma niente!
Grazie
Ciaoo
Risposte
Fai male l'integrazione definita.
Una volta trovato il fattore integrante hai:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{z(t)}{t}\right] = \frac{8}{1+t^2}
\]
da cui:
\[
\int_1^t \left( \frac{z(\tau)}{\tau}\right)^\prime\ \text{d} \tau = \int_1^t \frac{8}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau
\]
quindi, tenendo presente la c.i. \(z(1)=2\pi\):
\[
\frac{z(t)}{t} - 2\pi = 8\arctan t - 8\ \frac{\pi}{4}
\]
ossia:
\[
z(t) = 8t\ \arctan t\; .
\]
Di qui, ricordando che \(z(t)=y^\prime (t)\) ed integrando:
\[
y(t) = 2(\pi -2) + 8\int_1^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau
\]
con l'ultimo integrale che si fa un po' per parti.
Una volta trovato il fattore integrante hai:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{z(t)}{t}\right] = \frac{8}{1+t^2}
\]
da cui:
\[
\int_1^t \left( \frac{z(\tau)}{\tau}\right)^\prime\ \text{d} \tau = \int_1^t \frac{8}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau
\]
quindi, tenendo presente la c.i. \(z(1)=2\pi\):
\[
\frac{z(t)}{t} - 2\pi = 8\arctan t - 8\ \frac{\pi}{4}
\]
ossia:
\[
z(t) = 8t\ \arctan t\; .
\]
Di qui, ricordando che \(z(t)=y^\prime (t)\) ed integrando:
\[
y(t) = 2(\pi -2) + 8\int_1^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau
\]
con l'ultimo integrale che si fa un po' per parti.
Ciao!
Grazie mille per la risposta.. però andando ad integrare la $z(t)$ in modo da calcolare la $y(t)$ ottengo:
$y(t)=2(pi-2)+4(t^2+1)arctant-8t-2pi+1$
che è diverso dal risultato
$y(t)=+4(t^2+1)arctant-t$
L'integrale per parti è giusto.. però il risultato non coincide.
Grazie mille
Ciaoo!
Grazie mille per la risposta.. però andando ad integrare la $z(t)$ in modo da calcolare la $y(t)$ ottengo:
$y(t)=2(pi-2)+4(t^2+1)arctant-8t-2pi+1$
che è diverso dal risultato
$y(t)=+4(t^2+1)arctant-t$
L'integrale per parti è giusto.. però il risultato non coincide.
Grazie mille
Ciaoo!
Ciao!
Ho guardato anche alcuni esercizi svolti... arrivati in fondo quando trovano la $y(t)$ integrano per variabili separate al posto di utilizzare la solita formula che hai usato anche tu.
Ho provato quindi ad integrare per variabili separate ed ottengo:
$y(t)=4((t^2+1)arctant-t)+c$
Se pongo $c=0$ ottengo il risultato giusto.. ma andando ad utilizzare la c.i $y(1)=2(pi-2)$ ottengo ancora il risultato sbagliato.
Grazie
Ciao
Ho guardato anche alcuni esercizi svolti... arrivati in fondo quando trovano la $y(t)$ integrano per variabili separate al posto di utilizzare la solita formula che hai usato anche tu.
Ho provato quindi ad integrare per variabili separate ed ottengo:
$y(t)=4((t^2+1)arctant-t)+c$
Se pongo $c=0$ ottengo il risultato giusto.. ma andando ad utilizzare la c.i $y(1)=2(pi-2)$ ottengo ancora il risultato sbagliato.
Grazie
Ciao
Probabilmente hai integrato col punto iniziale sbagliato.
Infatti, hai:
\[
\begin{split}
y(t) &= 2(\pi - 2) + 8\int_1^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau \\
&= 2(\pi - 2) +8 \frac{\tau^2}{2}\ \arctan \tau\Big|_1^t - 8 \int_1^t \frac{\tau^2}{2(1+\tau^2)}\ \text{d} \tau \\
&= 2(\pi -2) + 4t^2\ \arctan t - \pi - 4\int_1^t \frac{(\tau^2+1)-1}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau \\
&= \pi -4 + 4t^2\ \arctan t - 4\int_1^t \text{d} \tau +4\int_1^t \frac{1}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau \\
&= \pi -4 + 4t^2\ \arctan t - 4\tau \Big|_1^t + 4\ \arctan \tau \Big|_1^t \\
&= \pi -4 +4t^2\ \arctan t -4t + 4 +4\arctan t - \pi\\
&= 4(t^2+1)\ \arctan t -4t\; ,
\end{split}
\]
come volevi.
Infatti, hai:
\[
\begin{split}
y(t) &= 2(\pi - 2) + 8\int_1^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau \\
&= 2(\pi - 2) +8 \frac{\tau^2}{2}\ \arctan \tau\Big|_1^t - 8 \int_1^t \frac{\tau^2}{2(1+\tau^2)}\ \text{d} \tau \\
&= 2(\pi -2) + 4t^2\ \arctan t - \pi - 4\int_1^t \frac{(\tau^2+1)-1}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau \\
&= \pi -4 + 4t^2\ \arctan t - 4\int_1^t \text{d} \tau +4\int_1^t \frac{1}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau \\
&= \pi -4 + 4t^2\ \arctan t - 4\tau \Big|_1^t + 4\ \arctan \tau \Big|_1^t \\
&= \pi -4 +4t^2\ \arctan t -4t + 4 +4\arctan t - \pi\\
&= 4(t^2+1)\ \arctan t -4t\; ,
\end{split}
\]
come volevi.
Ciao!
Grazie mille.. al posto di utilizzare il $+1-1$ ho fatto la divisione polinomiale e continuavo a sbagliare il calcolo!
Grazie ancora
Ciao
Grazie mille.. al posto di utilizzare il $+1-1$ ho fatto la divisione polinomiale e continuavo a sbagliare il calcolo!
Grazie ancora
Ciao
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