Problema di analisi I

[p.fiore1]

Determinare il valore di a ∈ R per cui il seguente limite è uguale a 3:
$ lim_(x -> +oo ) [x+3+root(3)((ax^3 +1)) ]/x $

Mi spiegate i passaggi per favore?
Grazie!

[Hawk88]

Innanzitutto determini il valore del limite:

$ lim_(x -> +oo) (x + 3 + root(3)(ax^3 + 1) ) / x = $

$ = lim_(x -> +oo) (x + 3 + root(3)(x^3(a + 1/x^3)) ) / x = $

$ = lim_(x -> +oo) x/x + lim_(x -> +oo) 3/x + lim_(x -> +oo) ((x)root(3)(a + 1/x^3) ) / x = 1 + 0 + root(3)(a) $

Affinchè il limite sia uguale a $3$, poni:

$ 1 + root(3)(a) = 3 $

e quindi ottieni:

$a = 8$.

[BHK1]

scrivo qui visto che anche io ho un problema di analisi I.

$ lim_(x -> -2) $$(5ln(x+3)+sin(3x+6))/((x^2+2x)*ln(12+5x))$

ora per la cronaca i modi di procedere che conosco sono:
riduco i termini dividendo per l'incognita a grado maggiore e/o semplifico alcune parti e nè svolgo delle altre.

ma non riesco a semplificarla in nessun modo, ho provato a svolgere il prodotto al denominatore ma non è servito a nulla.
help!

[cyd1]

usa gli sviluppi in serie !

[homeinside-votailprof]

hai provato con del'hopital

[homeinside-votailprof]

a me risulta 3\ln2

[BHK1]

purtroppo non posso usare del hopital, cosa sono gli sviluppi in serie?

[fireball1]

Fai un cambio di variabile, poni $y=x+2$. A questo punto devi calcolare
$lim_(y->0) (5ln(y+1)+sin(3y))/(y(y-2)*ln(2+5y))$
Ha un aspetto più umano, no?

[BHK1]

e non nè cavo piede neanche così

[fireball1]

Dividi numeratore e denominatore per y e usa i limiti notevoli: niente sviluppi di Taylor...

[BHK1]

"fireball":Dividi numeratore e denominatore per y e usa i limiti notevoli: niente sviluppi di Taylor...

$ lim_(y -> 0) $ $(5ln(y+1)/y+sin(3y)/y)/((y-2) ln(5y+2)/y)$
passo sucessivo?

[p.fiore1]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... as+x-%3E-2

guarda se questo link può esserti utile.
ciao!

[fireball1]

"BHK":[quote="fireball"]Dividi numeratore e denominatore per y e usa i limiti notevoli: niente sviluppi di Taylor...

$ lim_(y -> 0) $ $(5ln(y+1)/y+sin(3y)/y)/((y-2) ln(5y+2)/y)$
passo sucessivo?[/quote]

Se hai studiato dovresti saperlo qual è il passo successivo: sono tutti limiti notevoli. Comunque il denominatore è $(y-2)*ln(5y+2)$... Quella y sotto non c'è.

[BHK1]

$ lim_(y -> 0) $ $(5ln(y+1)/y+sin(3y)/y)/((y-2) ln(5y+2))$

sapendo che $ln(y+1)/y$ tende a 1
si ha
$ lim_(y -> 0) $ $(5+sin(3y)/y)/((y-2) ln(5y+2))$

però ho qualche dubbio su $sin(3y)/y$

se fosse $sin(y)/y=1$

[fireball1]

Per il limite notevole del seno poni $3y=z$. Quanto fa $lim_(z->0) (sin(z))/(z/3)$ ?

[BHK1]

fa $1/3$ ma io ho cmq il limite di y che tende a zero, devo sostituire z ad ogni termine?

[fireball1]

No, non fa $1/3$... Cerca di riscrivere il limite come una costante per $lim_(z->0) (sin z)/z$.
No, la sostituzione $3y=z$ te l'ho proposta solo riguardo il limite di $(sin(3y))/y$, per capire quanto fa.

[BHK1]

bah non lo so. cmq rifacendo $sin(3y)/y$ mi da 3

[fireball1]

Bene, quindi il numeratore tende a 5 + 3, poi...

[BHK1]

poi faccio così
$8/((y-2)ln(5y+2))$
$y=x+2$
$8/((x+2-2)ln(5(x+2)+2))=8/(x*ln(5x+12)); $
$x->-2$
$8/(-2ln(2))=-4/ln(2)$

[fireball1]

Perfetto.