Problema d'esame con funzione integrale

[Teschio4]

Sapendo che:
\[\left\{\begin{matrix} y'=2xy+\frac{1}{\sqrt{x}} \\ y(1)=0 \end{matrix}\right.\]

Determinare:
- Soluzione al problema di Cauchy
- Dominio Massimale I
- I due limiti: \[\lim_{x \to inf I}y(x), \lim_{x \to sup I}y(x)\]
- Se \[f(x)=e^{-x^{2}}y(x)\] calcolare \[f^{-1}(a), a \epsilon f(I)\]

Il primo punto penso di averlo risolto correttamente trovando:
\[y=ke^{x}+x^2\int{\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{x}}}\]

Per il resto mi affido a voi Perché non ho davvero idea di come procedere avendo quella funzione integrale...
Grazie mille per l'aiuto

[Raptorista1]

Per il dominio massimale c'è un teorema apposta se non sbaglio.

[gugo82]

"Teschio4":Sapendo che:
\[ \left\{\begin{matrix} y'=2xy+\frac{1}{\sqrt{x}} \\ y(1)=0 \end{matrix}\right. \]

Determinare:
- Soluzione al problema di Cauchy
- Dominio Massimale I
- I due limiti: \[ \lim_{x \to inf I}y(x), \lim_{x \to sup I}y(x) \]
- Se \[ f(x)=e^{-x^{2}}y(x) \] calcolare \[ f^{-1}(a), a \epsilon f(I) \]

Il primo punto penso di averlo risolto correttamente trovando:
\[ y=ke^{x}+x^2\int{\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{x}}} \]

Per il resto mi affido a voi Perché non ho davvero idea di come procedere avendo quella funzione integrale...
Grazie mille per l'aiuto

Due errori gravi.
Primo: se hai un problema di Cauchy, difficilmente la soluzione contiene un integrale indefinito oppure una costante arbitraria.
Secondo: dato che la EDO non ha coefficienti costanti, non puoi calcolare i valori caratteristici $\lambda$ usando il polinomio caratteristico e una soluzione del tipo $e^x$ per l'omogenea associata te la sogni.

Veniamo ad una soluzione pressoché pulita.

Cominciamo col notare che la soluzione del PdC (che esiste ed è unica per noti fatti di teoria[nota]La EDO è lineare, anche se non ha i coefficienti costanti.[/nota]) è di classe $C^\infty(]0,+oo[)$.
Infatti, che la soluzione sia definita ovunque in $]0,+oo[$ segue dalla linearità.
D'altra parte, la regolarità della soluzione segue da un semplice ragionamento ricorsivo: infatti, dato che $y$ è derivabile in $]0,+oo[$ (altrimenti non potrebbe essere soluzione di una EDO del primo ordine), allora anche \(y^\prime (x) = 2xy(x) + \frac{1}{\sqrt{x}}\) è derivabile in $]0,+oo[$ (poiché somma di funzioni derivabili) e dunque continua in $]0,+oo[$; dalle EDO segue che:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime} (x) &= 2y(x) + 2xy^\prime - \frac{1}{2x\sqrt{x}} \\
&= 2y(x) + 4x^2y(x) + \frac{4x^2-1}{2x\sqrt{x}}
\end{split}
\]
cosicché la derivata \(y^{\prime \prime}(x)\) è continua e derivabile in $]0,+oo[$ (poiché somma di funzioni con tali proprietà)... Iterando il procedimento per induzione si ottiene il risultato.

Passiamo alla soluzione dle problema.
Dato che la EDO può essere moltiplicata m.a.m. per $e^{-x^2}$, applicando il teorema sulla derivata del prodotto hai:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ e^{-x^2}\ y(x)\right] = \frac{1}{\sqrt{x}}\ e^{-x^2}\; ,
\]
da cui, usando la funzione integrale con punto iniziale in $1$ e la condizione iniziale $y(1)=0$, trai:
\[
\begin{split}
\int_1^x \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ e^{-t^2}\ y(t)\right]\ \text{d} t &= \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t \\
\Leftrightarrow \qquad \left[ e^{-t^2}\ y(t)\right]_1^x &= \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t \\
\Leftrightarrow \qquad e^{-x^2}\ y(x) &= \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t \; ,
\end{split}
\]
cosicché la funzione:
\[
y(x) = e^{x^2}\ \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t
\]
è la soluzione del PdC assegnato.[nota]Dall'espressione esplicita ora trovata si evince che $y(x)$ è in $C^oo(]0,+oo[)$, cosa già stabilita in precedenza usando la sola EDO.[/nota]

Per quanto riguarda il dominio, si è già detto che $I=]0,+oo[$.
Per i limiti, si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \inf I} y(x) &= \lim_{x\to 0^+} e^{x^2}\ \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t \\
&= \int_1^0 \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t \\
&= - \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t\; ,\\
\lim_{x\to \sup I} y(x) &= \lim_{x\to +\infty} e^{x^2}\ \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t \\
&= +\infty
\end{split}
\]
dato che l'integrale improprio \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{t^2}\ \text{d} t\) converge (per il Criterio dell'ordine di Infinito) e l'integrale improprio \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{t^2}\ \text{d} t\) diverge.

Infine, dato che:
\[
f(x) := \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t
\]
è definita, continua e derivabile (quanto si vuole) in $]0,+oo[$, ha limiti in $0^+$ e $+oo$ rispettivamente uguali quelli di $y$ ed è strettamente crescente in $]0,+oo[$ (avendo derivata positiva), si deduce che la controimmagine $f^{-1}(a)$ è costituita da un unico punto per ogni fissato \(a\in f(I) =]-\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\ e^{-t^2}\ \text{d} t , +oo[\).