Problema derivata composta con logaritmo naturale e radici
Salve a tutti ragazzi, torno a chiedere il vostro aiuto in vista dell'esame di Matematica che dovrò affrontare a settembre.. ho un problema con la seguente derivata:
$ f(x)= sqrt(x(x-1)) - 1/2 In (sqrt(x+1) - sqrtx)/ (sqrt(x+1) + sqrtx $
ho proceduto nel seguente modo per quanto rigurda il primo termine:
[D] $ sqrt(x(x-1)) $= $ 1/(2(sqrt(x(x+1)))] * (x+1)(1)+(x)(1) = (1+2x) /(2(sqrt(x(x+1) $
per quanto riguarda il secondo, invece, non so se razionalizzare il denominatore oppure derivare direttamente applicando le formule della derivata del quoziente e della funzione composta. Qualcuno potrebbe darmi un consiglio? grazie ..
$ f(x)= sqrt(x(x-1)) - 1/2 In (sqrt(x+1) - sqrtx)/ (sqrt(x+1) + sqrtx $
ho proceduto nel seguente modo per quanto rigurda il primo termine:
[D] $ sqrt(x(x-1)) $= $ 1/(2(sqrt(x(x+1)))] * (x+1)(1)+(x)(1) = (1+2x) /(2(sqrt(x(x+1) $
per quanto riguarda il secondo, invece, non so se razionalizzare il denominatore oppure derivare direttamente applicando le formule della derivata del quoziente e della funzione composta. Qualcuno potrebbe darmi un consiglio? grazie ..
Risposte
Perché il $-$ è diventato un $+$? Quale è quella corretta? Tra l'altro, stai attenta a scrivere meglio le parentesi. Per il primo addendo abbiamo (metto $+$, ho la sensazione che sia quello più sensato)
$$D\left(\sqrt{x(x+1)}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x(x+1)}}\cdot(2x+1)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$$
Per il secondo, invece, procediamo così: per prima cosa ricorda che $\ln(a/b)=\ln a-ln b$. Per cui posso derivare separatamente in questo modo
$$D\left[\ln(\sqrt{x+1}\pm\sqrt{x})\right]=\frac{1}{\sqrt{x+1}\pm\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\pm\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=\\ \frac{1}{\sqrt{x+1}\pm\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}\pm\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x^2+x}}=\pm\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}$$
e quindi
$$D\left[\ln\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right]=D\left[\ln(\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\right]-D\left[\ln(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\right]=\\-\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}-\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$$
In definitiva puoi scrivere per la derivata della funzione
$$D[f(x)]=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}-\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}}$$
$$D\left(\sqrt{x(x+1)}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x(x+1)}}\cdot(2x+1)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$$
Per il secondo, invece, procediamo così: per prima cosa ricorda che $\ln(a/b)=\ln a-ln b$. Per cui posso derivare separatamente in questo modo
$$D\left[\ln(\sqrt{x+1}\pm\sqrt{x})\right]=\frac{1}{\sqrt{x+1}\pm\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\pm\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=\\ \frac{1}{\sqrt{x+1}\pm\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}\pm\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x^2+x}}=\pm\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}$$
e quindi
$$D\left[\ln\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right]=D\left[\ln(\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\right]-D\left[\ln(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\right]=\\-\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}-\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$$
In definitiva puoi scrivere per la derivata della funzione
$$D[f(x)]=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}-\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}}$$
scusami.. è che sono talmente confusa che ho sbagliato anche a ricopiare la traccia..comunque hai ragione, al primo addendo si tratta di (x+1) e non (-). Ti ringrazio per la risposta, però non ho capito come fai a fare comparire la radice al numeratore quando derivi il secondo addendo..hai fatto il minimo comune denominatore? o altro? 
La derivata del logaritmo di una funzione è
$$D[\ln(g(x))]=\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)$$
per cui prima di tutto l'argomento del logaritmo passa a denominatore e poi devi derivare l'argomento (e la derivata di una radice quadrata la fa spostare a denominatore)
$$D[\ln(g(x))]=\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)$$
per cui prima di tutto l'argomento del logaritmo passa a denominatore e poi devi derivare l'argomento (e la derivata di una radice quadrata la fa spostare a denominatore)
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