Problema con un limite
Avrei bisogno di una mano con un limte (o meglio una tipologia) che non riesco a risolvere,
si tratta di
$lim_(x->0) sin(1/x)/x^6$ ma in realtà qualunque tipo di esponente del genere.
non riesco a capire quale strategia usare per portarla a compimento (dire se esiste o no, insomma trovarsi il risultato).
PS:
Domanda di riserva..
Nel caso $lim_(x->0) sin(1/x)/x^-6$
metodo a) ho pensato di usare il confronto e mostrare che vale zero, riscrivendola come $lim_(x->0) sin(1/x)*x^6$, è giusto?
metodo b)O posso anche dire: essendo il numeratore finito e denom infinito allora ho numero/infinito=0?
sia a che b sono metodi corretti (sul secondo nutro più dubbi)?
Grazie mille.
si tratta di
$lim_(x->0) sin(1/x)/x^6$ ma in realtà qualunque tipo di esponente del genere.
non riesco a capire quale strategia usare per portarla a compimento (dire se esiste o no, insomma trovarsi il risultato).
PS:
Domanda di riserva..
Nel caso $lim_(x->0) sin(1/x)/x^-6$
metodo a) ho pensato di usare il confronto e mostrare che vale zero, riscrivendola come $lim_(x->0) sin(1/x)*x^6$, è giusto?
metodo b)O posso anche dire: essendo il numeratore finito e denom infinito allora ho numero/infinito=0?
sia a che b sono metodi corretti (sul secondo nutro più dubbi)?
Grazie mille.
Risposte
Grazie mille per la rispsota, innanzitutto.
Per il secondo dubbio ok, il primo invece non credo di averlo ancora capito alla perfezione.
In particolare non capisco come ottieni limite inf e sup a numeratore -1 e 1rispettivamente. Infatti lim x->0 sin(1/x) non dovrebbe esistere perché "non calcolabile" e non dà 1 o -1. Dove sbaglio?
Per il secondo dubbio ok, il primo invece non credo di averlo ancora capito alla perfezione.
In particolare non capisco come ottieni limite inf e sup a numeratore -1 e 1rispettivamente. Infatti lim x->0 sin(1/x) non dovrebbe esistere perché "non calcolabile" e non dà 1 o -1. Dove sbaglio?
Ah ok, forse ci sono: inf e sup sono i valori estremi che assume il limite della funzione seno.
L'ultima sbavatura che non mi torna è questa..
come mai scriviamo:
-1/+inf e 1/+inf, io so che posso scrivere il limite di una frazione come frazione di limiti solo se esistono finiti, invece qui a denominatore ho una quantità "infinita" e come tale non potrei calcolare il limite della funzione a numeratore e poi quella a denominatore.
[Inoltre $lim x->0 x^6$ (cioè il limite del denominatore) dovrebbe essere $0$ e non infinito, ma forse questo è solo un refuso ed errore di scrittura]
In ogni caso anche se fosse
[quote=arnett]\[\liminf_{x\to 0} \,\frac{\sin(1/x)}{x^6}=\frac{-1}{0}=-\infty\ne \limsup_{x\to 0} \,\frac{\sin(1/x)}{x^6}=\frac{1}{0}=+\infty\]
non capisco perché possa spezzare e sviluppare separatamente il limite del numeratore e del denominatore e poi "incollarli".
Intendo quale teorema usiamo nella teoria? Infatti l'algebra dei limiti non mi pare si possa utilizzare dato che il numeratore non è un limite finito e quindi non posso sfruttare quanto sopra scrivevo: so che posso scrivere il limite di una frazione come frazione di limiti solo se esistono finiti, invece qui a numeratore ho una quantità "indefinita" e non finita
Se risolvo anche questa ho capito
Grazie ancora per le rispsote,davvero!
L'ultima sbavatura che non mi torna è questa..
come mai scriviamo:
-1/+inf e 1/+inf, io so che posso scrivere il limite di una frazione come frazione di limiti solo se esistono finiti, invece qui a denominatore ho una quantità "infinita" e come tale non potrei calcolare il limite della funzione a numeratore e poi quella a denominatore.
[Inoltre $lim x->0 x^6$ (cioè il limite del denominatore) dovrebbe essere $0$ e non infinito, ma forse questo è solo un refuso ed errore di scrittura]
In ogni caso anche se fosse
[quote=arnett]\[\liminf_{x\to 0} \,\frac{\sin(1/x)}{x^6}=\frac{-1}{0}=-\infty\ne \limsup_{x\to 0} \,\frac{\sin(1/x)}{x^6}=\frac{1}{0}=+\infty\]
non capisco perché possa spezzare e sviluppare separatamente il limite del numeratore e del denominatore e poi "incollarli".
Intendo quale teorema usiamo nella teoria? Infatti l'algebra dei limiti non mi pare si possa utilizzare dato che il numeratore non è un limite finito e quindi non posso sfruttare quanto sopra scrivevo: so che posso scrivere il limite di una frazione come frazione di limiti solo se esistono finiti, invece qui a numeratore ho una quantità "indefinita" e non finita
Se risolvo anche questa ho capito
Grazie ancora per le rispsote,davvero!
Editato.
@arnett: ok ora mi pare di aver capito! Ti ringrazio molto
@caffeinaplus: stavo provando anche il tuo metodo ma finisco per incastrarmi.
$lim_(x->0) xsin(1/x)*1/x^7$
e mi porto stupidamente a 0*inf=indet
Sono proprio incapace
@caffeinaplus: stavo provando anche il tuo metodo ma finisco per incastrarmi.
$lim_(x->0) xsin(1/x)*1/x^7$
e mi porto stupidamente a 0*inf=indet
Sono proprio incapace
Forse ho fatto io un errore tra uno spaghetto e un altro 
Edit: si avevo scritto una bella fesseria, mi spiace se ti ha portato un po fuoristrada
Edit: si avevo scritto una bella fesseria, mi spiace se ti ha portato un po fuoristrada
Volevi sfruttare il limite notevole, vero?
Che però in tal caso non funziona essendo per x->0, 1/x->inf.
Che però in tal caso non funziona essendo per x->0, 1/x->inf.
Si avevo preso una svista 
"caffeinaplus":
Si avevo preso una svista
Mi fa piacere che siate umani
, leggendovi non parrebbe lol----
Un' ultima cosa sempre su questo tipo di limiti, prometto
. Poi basta per ferragosto!io so che per il teorema del "prodotto di una funzione limitata per una infinitesima" mi garantisce che il limite sia 0 (ho già letto la dimostrazione)
Es tipico: $lim_(x->∞) sin(1/x)/x=0$: 1/x infinitesima e sin(1/x) limitata.
Ma ora mi chiedo, io potrei senza stare a invocare il teorema, dire semplicemente "per l'algebra estesa di infiniti e infinitesimi" (di cui parlava anche arnett) io avrei sotto questa algebra $ 0*sin(1/x)=0$ essendo sin(1/x) limitata tra -1 e 1 (sempre come dicevamo prima) e 1/x=0.
Insomma mi sembra un teorema inutile vista così, e ovviamente non lo è
D'altra parte il limite precedente l'ho svolto proprio utilizzando questa "algebra" quindi è legale sfruttarla
!
Grazie ancora, sto inquadrando la questione di questa "algebra estesa" finalmente.
Dato che il passaggio
è formalizzabile per confronto:
Quindi anche questo passaggio sarebbe formalizzabile (in qualche modo)
E sarei curioso di sapere come fare, percé in questo caso per confronto non si può, ovviamente
Dato che il passaggio
"vastità":
$lim_(x->∞) sin(1/x)/x=0$
[...]
Ma ora mi chiedo, io potrei senza stare a invocare il teorema, dire semplicemente "per l'algebra estesa di infiniti e infinitesimi" (di cui parlava anche arnett) io avrei sotto questa algebra $ 0*sin(1/x)=0$ essendo sin(1/x) limitata tra -1 e 1 (sempre come dicevamo prima) e 1/x=0
è formalizzabile per confronto:
"arnett":
Ogni considerazione del tipo sopra c'è una quantità limitata e sotto una quantità infinita è intuitivamente corretta ma si formalizza per confronto.
Quindi anche questo passaggio sarebbe formalizzabile (in qualche modo)
"arnett":
\[\liminf_{x\to 0} \,\frac{\sin(1/x)}{x^6}=\frac{-1}{0}=-\infty\ne \limsup_{x\to 0} \,\frac{\sin(1/x)}{x^6}=\frac{1}{0}=+\infty\]
E sarei curioso di sapere come fare, percé in questo caso per confronto non si può, ovviamente
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