Problema con serie geometrica
Avrei bisogno di un aiuto nella dimostrazione del risultato logico di un problema.
"Da una torta viene prima tagliata una porzione p<1 del totale, poi una porzione p della parte rimasta, e così via, asportando ogni volta una porzione p del rimanente. Calcolare quanta ne rimane alla fine."
È chiaro che alla fine non ne rimane più perché vado togliendo sempre una parte di ciò che mi rimane, ma non saprei come dimostrarlo utilizzando la teoria della serie geometrica, non riesco a trovare la successione di cui sommo i termini.
"Da una torta viene prima tagliata una porzione p<1 del totale, poi una porzione p della parte rimasta, e così via, asportando ogni volta una porzione p del rimanente. Calcolare quanta ne rimane alla fine."
È chiaro che alla fine non ne rimane più perché vado togliendo sempre una parte di ciò che mi rimane, ma non saprei come dimostrarlo utilizzando la teoria della serie geometrica, non riesco a trovare la successione di cui sommo i termini.
Risposte
$p$, $p(1-p)$, ..., $p(1-p)^n$,...
Ma visto che $(1-p)^n$ tende a zero non credo che sia necessario fare la somma.
Ciao fresin,
Magari la demenza senile avanza, ma non capisco cosa c'entri qui la teoria della serie geometrica...
Se la torta è l'unità, dopo che se ne toglie una fetta $ p < 1 $ ne rimarrà $(1 - p)$ quindi poi a forza di toglierne delle fette $p$ sarà:
$1 - p - p - p - p - ... - p = 1 - np $
Siccome la torta è una quantità finita, dopo $n = 1/p $ asportazioni di fette $p $ non ce ne sarà più...
Magari la demenza senile avanza, ma non capisco cosa c'entri qui la teoria della serie geometrica...
Se la torta è l'unità, dopo che se ne toglie una fetta $ p < 1 $ ne rimarrà $(1 - p)$ quindi poi a forza di toglierne delle fette $p$ sarà:
$1 - p - p - p - p - ... - p = 1 - np $
Siccome la torta è una quantità finita, dopo $n = 1/p $ asportazioni di fette $p $ non ce ne sarà più...
Penso che per $p$ intenda "la proporzione" $p$ ...
Ciao axpgn,
Boh, dal testo riportato nell'OP non sembra:
Scrive porzione, non proporzione: quindi ho interpretato $p$ come una frazione, che ne so ad esempio $1/24 < 1 $
Comunque vediamo cosa risponde, casomai chiarisce meglio i termini del problema se ho male interpretato...
"axpgn":
Penso che per $p$ intenda "la proporzione" $p$ ...
Boh, dal testo riportato nell'OP non sembra:
"fresin":
Da una torta viene prima tagliata una porzione p<1 del totale
Scrive porzione, non proporzione: quindi ho interpretato $p$ come una frazione, che ne so ad esempio $1/24 < 1 $
Comunque vediamo cosa risponde, casomai chiarisce meglio i termini del problema se ho male interpretato...
Se fosse così come dici, il problema avrebbe poco senso, anche perché poi dice
"fresin":
... poi una porzione p della parte rimasta, e così via, asportando ogni volta una porzione p del rimanente.
"axpgn":
Se fosse così come dici, il problema avrebbe poco senso
Mah, se diamo per buona l'interpretazione di ghira, è chiaro che facendo la somma delle parti asportate si ottiene di nuovo l'intera torta, cioè $1$:
$ p[1 + (1 - p) + (1 - p)^2 + ... ] = p \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}(1 - p)^n = p \cdot 1/(1 - (1 - p)) = 1 $
A questo punto però non mi spiego tanto quanto
"fresin":
Calcolare quanta ne rimane alla fine.
A meno che la "dimostrazione" che intende l'OP non sia proprio questa, cioè:
$\text{Torta che rimane} = 1 - p[1 + (1 - p) + (1 - p)^2 + ... ] = 1 - p \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}(1 - p)^n = $
$ = 1 - p \cdot 1/(1 - (1 - p)) = 1 - p \cdot 1/p = 1 - 1 = 0 $
Mi pare che abbia poco senso comunque, ma almeno siamo riusciti a tirare in ballo la serie geometrica...
"pilloeffe":
[quote="axpgn"]Se fosse così come dici, il problema avrebbe poco senso
Mah, se diamo per buona l'interpretazione di ghira, è chiaro che facendo la somma delle parti asportate si ottiene di nuovo l'intera torta, cioè $1$:
$ p[1 + (1 - p) + (1 - p)^2 + ... ] = p \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}(1 - p)^n = p \cdot 1/(1 - (1 - p)) = 1 $
A questo punto però non mi spiego tanto quanto
A meno che la "dimostrazione" che intende l'OP non sia proprio questa, cioè:
$\text{Torta che rimane} = 1 - p[1 + (1 - p) + (1 - p)^2 + ... ] = 1 - p \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}(1 - p)^n = $
$ = 1 - p \cdot 1/(1 - (1 - p)) = 1 - p \cdot 1/p = 1 - 1 = 0 $
Mi pare che abbia poco senso comunque, ma almeno siamo riusciti a tirare in ballo la serie geometrica...
[/quote]Si grazie era questo che cercavo.
Ma in due abbiamo detto che non è necessario usare la serie geometrica.
Basta notare che $(1-p)^n$ va a 0.
Basta notare che $(1-p)^n$ va a 0.
"ghira":
Ma in due abbiamo detto che non è necessario usare la serie geometrica.
Basta notare che $(1-p)^n$ va a 0.
Il fatto che ogni porzione vada a zero non implica necessariamente che la parte rimanente, al limite, abbia lo stesso comportamento.
Ciao ghira,
Gli serviva la dimostrazione con la serie geometrica, infatti
Per me comunque il problema ha poco senso innanzitutto perché la risposta è ovvia (è chiaro che di torta non ne resta... ), poi perché mi pare un "problema di irrealtà": nella realtà la torta è finita e se ne prendono frazioni edibili... Credo che si potrebbero trovare esempi di problemi con la serie geometrica maggiormente significativi.
Gli serviva la dimostrazione con la serie geometrica, infatti
"fresin":
[...] ma non saprei come dimostrarlo utilizzando la teoria della serie geometrica [...]
Per me comunque il problema ha poco senso innanzitutto perché la risposta è ovvia (è chiaro che di torta non ne resta...
), poi perché mi pare un "problema di irrealtà": nella realtà la torta è finita e se ne prendono frazioni edibili... Credo che si potrebbero trovare esempi di problemi con la serie geometrica maggiormente significativi.
Vabbè ma quello che gli si chiedeva era di "trovare" la serie geometrica "giusta" ... 
Sì beh, quello lo capisco, ma sommare "infinite fette di torta" per poi riottenere l'intera torta nella realtà non è proprio possibile...
@ pilloeffe: Beh, più significativi di questo... Immagina di aggiungere, invece di sottrarre, ed hai un problema di capitalizzazione come nelle banche; oppure, un problema legato alla crescita cellulare. Con la sottrazione hai problemi di sconti successivi, ad esempio.
Insomma, questo problema ha, in nuce, tutto quello che serve ad applicazioni della serie geometrica.
Insomma, questo problema ha, in nuce, tutto quello che serve ad applicazioni della serie geometrica.
"gugo82":
[quote="ghira"]Ma in due abbiamo detto che non è necessario usare la serie geometrica.
Basta notare che $(1-p)^n$ va a 0.
Il fatto che ogni porzione vada a zero non implica necessariamente che la parte rimanente, al limite, abbia lo stesso comportamento.
[/quote]Ma $(1-p)^n$ non è proprio la parte rimanente?
Direi proprio di sì, la situazione è la seguente:
Fetta $\qquad \qquad \qquad $ Parte restante
$p$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ $ (1 - p) $
$p(1 - p)$ $\qquad \qquad $ $ (1 - p) - p(1 - p) = (1 - p)^2$
$p(1 - p)^2$ $\qquad \qquad $ $ (1 - p)^2 - p(1 - p)^2 = (1 - p)^3$
$.$
$.$
$.$
$p(1 - p)^{n - 1}$ $\qquad $ $ (1 - p)^{n - 1} - p(1 - p)^{n - 1} = (1 - p)^n$
Fetta $\qquad \qquad \qquad $ Parte restante
$p$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ $ (1 - p) $
$p(1 - p)$ $\qquad \qquad $ $ (1 - p) - p(1 - p) = (1 - p)^2$
$p(1 - p)^2$ $\qquad \qquad $ $ (1 - p)^2 - p(1 - p)^2 = (1 - p)^3$
$.$
$.$
$.$
$p(1 - p)^{n - 1}$ $\qquad $ $ (1 - p)^{n - 1} - p(1 - p)^{n - 1} = (1 - p)^n$
"gugo82":
[quote="ghira"]Ma in due abbiamo detto che non è necessario usare la serie geometrica.
Basta notare che $(1-p)^n$ va a 0.
Il fatto che ogni porzione vada a zero non implica necessariamente che la parte rimanente, al limite, abbia lo stesso comportamento.
[/quote]Ma, dottore, io _sono_ Pagliacci.
Intendo, $(1-p)^n$ è la parte rimanente.
Sì, siamo d'accordo: in questo caso è così.
Ma il punto dell'esercizio sembra un altro: riconoscere che la "parte rimanente" si può scrivere come differenza tra una quantità positiva e la somma parziale di una serie, sicché per analizzare il comportamento al limite della "parte rimanente" basta riuscire a dire qualcosa sul comportamento della serie.
Questo è un fatto di portata un po' più generale, soprattutto quando i calcoli sulla "parte rimanente" non possono esser svolti in maniera esplicita, come ad esempio nel caso in cui vengono sottratti pezzi che non dipendono da ciò che rimane (e.g., "Dalla torta levo prima un quarto, poi un ottavo della torta, poi un dodicesimo, etc... Quanta torta rimane?").
Ma il punto dell'esercizio sembra un altro: riconoscere che la "parte rimanente" si può scrivere come differenza tra una quantità positiva e la somma parziale di una serie, sicché per analizzare il comportamento al limite della "parte rimanente" basta riuscire a dire qualcosa sul comportamento della serie.
Questo è un fatto di portata un po' più generale, soprattutto quando i calcoli sulla "parte rimanente" non possono esser svolti in maniera esplicita, come ad esempio nel caso in cui vengono sottratti pezzi che non dipendono da ciò che rimane (e.g., "Dalla torta levo prima un quarto, poi un ottavo della torta, poi un dodicesimo, etc... Quanta torta rimane?").
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