Problema con max e min con f di grado superiore al secondo

[MatDido92]

Mi sono trovato in difficoltà nel ricercare i max e min di questa funzione perchè sono abituato a calcolare le matrici hessiane e a trovarmi gli autovalori, ma con una funzione di grado superiore non so come fare(ho provato anche a cercare casi analoghi al mio sul forum, ma non sono riusciti a trovarli(sarà che sono totalmente inesperto))... è comunque il procedimento corretto?

la funzione in questione è questa

f(x,y,z)=x^2+y^4+y^2+z^3-2xz

grazie anticipatamente

[Seneca1]

Comincia determinando i punti critici.

[MatDido92]

ecco io ho pensato di fare il sistema fra le derivate parziali nelle 3 variabili e mi viene

2x-2z=0
4y^3+2y=0
3z^2-2x=0


però trovo un solo punto P dove il sistema mi si verifica(o sbaglio(molto probabilmente)).

P(3/2,0,3/2)

[poncelet]

Credo che tu abbia sbagliato qualcosa visto che l'origine soddisfa il tuo sistema ed inoltre viene un'altra soluzione reale ma è diversa dalla tua.

[MatDido92]

cappero hai ragione, quindi i punti sono P(2/3,0,2/3), Q(0,0,0), giusto?
Ma poi come faccio a vedere se sono max o min o selle?

[poncelet]

Studia la matrice Hessiana.

[MatDido92]

ma la hessiana come faccio a farla col grado superiore al secondo?

[poncelet]

Ti calcoli le derivate miste e avrai una matrice \(3 \times 3\).

[MatDido92]

ma la matrice 3x3 conterrà anche le incognite no?

[poncelet]

Devi calcolare le derivate parziali di ordine 2 nei punti critici e sistemarli nella matrice per poi vedere se è definita positiva o negativa o indefinita.

[MatDido92]

aaaaa quindi devo sostituire alle incognite i punti che ho già trovato P e Q?
Provo e vi faccio sapere, grazie mille

[MatDido92]

allora la hessiana mi viene
$((2,0,-2),(0,12y^2+1,0),(-2,0,6z))$




Quindi se ho ben capito dovrei prima sostituire al punto P e mi viene

2 0 -2
0 1 0
-2 0 0



e il punto q mi viene
2 0 -2
0 57/9 0
-2 0 4



E' giusto?
in caso affermativo, dopo che si fa?

[poncelet]

Ricalcolati le matrici che mi sembrano sbagliate

[MatDido92]

hai ragione, quella generale è giusta...
quella in p(2/3,0,2/3) viene
$((2,0,-2),(0,1,0),(-2,0,4))$
quella in Q(0,0,0) viene
$((2,0,-2),(0,1,0),(-2,0,0))$

Che dici la decima volta è quella buona?

[poncelet]

Ok. Adesso mi sembrano corrette. Verifica quindi se le matrici sono definite positive, negative o indefinite e concludi.

[MatDido92]

il determinante della matrice in P mi viene 12, quello della matrice in Q mi viene 4, giusto? quindi sono entrambe definite positive?
Per questo tutti i 2 punti sono max?

[poncelet]

Il determinante dell'hessiana diverso da zero ti assicura che i punti non sono degeneri ma dovresti andarti a rivedere la definizione di matrice definita positiva

[MatDido92]

ma quindi devo calcolarmi gli autovalori? a me alla prima mi viene solo lambda=1 come autovalore, quindi è definita positiva e quel punto è di minimo giusto(non di max come ho scritto prima colpevolmente)?

[poncelet]

Allora, a me l'hessiana in \((0,0,0)\) viene indefinita (punto di sella), mentre in \((\frac{2}{3},0,\frac{2}{3})\) mi viene definita positiva (punto di minimo).

[MatDido92]

Si, ho fatto un errore di distrazione io, per il punto (2/3,0,2/3) mi viene un solo autovalore positivo, quindi è definita positiva e quindi è un punto di minimo.
Mentre nel punto (0,0,0) mi vengono 3 autovalori, 2 positivi e 1 negativo quindi è indefinita e abbiamo un punto di sella, ti ridà uguale?

[MatDido92]

E poi un'altra domanda, questo splendido giochino di autovalori e determinanti posso anche usarlo per determinare la natura dei punti critici quandò mi viene dato anche il vincolo nella funzione?