Problema con limite
Ciao a tutti ragazzi, ho trovato questi limiti e non mi vien proprio giù riuscire a trovare la soluzione:
$lim_(x->0)((1-cosx)tgx+5x)/(2root(3)(x^2)-root(3)(x)$
$lim_(x->0)(3arctgx+(1-cos2x)sin^2x)/(27x^4+5sinx)$
Nel secondo ho provato a riscrivere tutto come $lim_(x->0)(3arctgx+2sin^4x)/(27x^4+5sinx)$, il problema è che non riesco a sistemare l'arcotangente, immagino debba tendere a $0$ ma non riesco a controllare il tutto.
Idem per il primo, non riesco proprio a capire come gestire il denominatore!
So che le idee messe in campo non sono molte, ma ho girato proprio a vuoto su questi due limiti, purtroppo!
Grazie a tutti!
$lim_(x->0)((1-cosx)tgx+5x)/(2root(3)(x^2)-root(3)(x)$
$lim_(x->0)(3arctgx+(1-cos2x)sin^2x)/(27x^4+5sinx)$
Nel secondo ho provato a riscrivere tutto come $lim_(x->0)(3arctgx+2sin^4x)/(27x^4+5sinx)$, il problema è che non riesco a sistemare l'arcotangente, immagino debba tendere a $0$ ma non riesco a controllare il tutto.
Idem per il primo, non riesco proprio a capire come gestire il denominatore!
So che le idee messe in campo non sono molte, ma ho girato proprio a vuoto su questi due limiti, purtroppo!
Grazie a tutti!
Risposte
Lo sai che gli infinitesimi di ordine superiore si possono trascurare?
Quindi...
$lim_(x->0)((1-cosx)tgx+5x)/(2root(3)(x^2)-root(3)(x)) = lim_(x->0)(5x)/(root(3)(x))$
Quindi...
$lim_(x->0)((1-cosx)tgx+5x)/(2root(3)(x^2)-root(3)(x)) = lim_(x->0)(5x)/(root(3)(x))$
Sì certo, ma volevo farlo in maniera più "diretta" diciamo così, perchè il libro non li aveva ancora introdotti.
Perché vuoi complicare le cose?
Comunque, per il secondo, dividi numeratore e denominatore per $x$.
Comunque, per il secondo, dividi numeratore e denominatore per $x$.
Grazie dell'aiuto. Dovrebbe venire $0$ vero?
Comunque non volevo complicarmi la vita, solamente cercare una soluzione diversa, tutto qui
Comunque non volevo complicarmi la vita, solamente cercare una soluzione diversa, tutto qui
"mistake89":
$lim_(x->0)((1-cosx)tgx+5x)/(2root(3)(x^2)-root(3)(x)$
$lim_(x->0) ( (1-cosx)tgx+5x)/(2root(3)(x^2)-root(3)(x)) = lim_{x->0} \frac { \frac{(1-cosx)tgx}{x} - \frac {5x}{x} } { \frac {2x^(2/3)-x^(1/3)} {x} } = lim_{x-> 0} \frac { -5 } { 2x^(2/3-1) - x^(1/3 -1) } = lim_{x-> 0} \frac { -5 } { 2x^(-1/3) - x^(-2/3) } = 0$
Ho usato il limite notevole $lim_{x->0} (1-cosx)/x = 0 $, ricordando che $lim_{x->0} tanx/x = 1$
Per il secondo limite... Ricorda $lim_{x->0} arctanx/x = 1$. Hai:
$lim_{x->0} \frac { 3arctanx/x + 2sinx^4/x } {27x^4/x + 5sinx/x } = lim_{x->0} \frac {3 + 2sinx^3}{ 27x^3 + 5} \approx 2/27 \cdot sinx^3/x^3 = 2/27 $
Ho anche applicato $lim_{x->0} sinx/x = 1$ nel primo passaggio. Spero ti sia chiaro
PS: Se non puoi approssimare, come ho fatto nell'ultimo passaggio, basta dividere num e denom per $x^3$ e otterrai lo stesso risultato
[size=150]PPS:[/size] Rileggendo ho sbagliato qui. Non posso dividere per $x^3$ nè approssimare, perchè $x$ è infinitesimo, non infinito. Vediamo come fare... siamo con:
$lim_{x->0} \frac {3 + 2sinx^3}{ 27x^3 + 5}$
$lim_{x->0} \frac { 3arctanx/x + 2sinx^4/x } {27x^4/x + 5sinx/x } = lim_{x->0} \frac {3 + 2sinx^3}{ 27x^3 + 5} \approx 2/27 \cdot sinx^3/x^3 = 2/27 $
Ho anche applicato $lim_{x->0} sinx/x = 1$ nel primo passaggio. Spero ti sia chiaro
PS: Se non puoi approssimare, come ho fatto nell'ultimo passaggio, basta dividere num e denom per $x^3$ e otterrai lo stesso risultato
[size=150]PPS:[/size] Rileggendo ho sbagliato qui. Non posso dividere per $x^3$ nè approssimare, perchè $x$ è infinitesimo, non infinito. Vediamo come fare... siamo con:
$lim_{x->0} \frac {3 + 2sinx^3}{ 27x^3 + 5}$
Grazie mille Pater per il limite... Oggi mi concentrerò un altro pò su questo limite e vediamo un pò cosa ne salta fuori.
"pater46":
Per il secondo limite... Ricorda $lim_{x->0} arctanx/x = 1$. Hai:
$lim_{x->0} \frac { 3arctanx/x + 2sinx^4/x } {27x^4/x + 5sinx/x } = lim_{x->0} \frac {3 + 2sinx^3}{ 27x^3 + 5} \approx 2/27 \cdot sinx^3/x^3 = 2/27 $
Ho anche applicato $lim_{x->0} sinx/x = 1$ nel primo passaggio. Spero ti sia chiaro
PS: Se non puoi approssimare, come ho fatto nell'ultimo passaggio, basta dividere num e denom per $x^3$ e otterrai lo stesso risultato
[size=150]PPS:[/size] Rileggendo ho sbagliato qui. Non posso dividere per $x^3$ nè approssimare, perchè $x$ è infinitesimo, non infinito. Vediamo come fare... siamo con:
$lim_{x->0} \frac {3 + 2sinx^3}{ 27x^3 + 5}$
Spero che tu stia scherzando... Il seguente è un passaggio non giustificato;
$lim_{x->0} \frac { 3arctanx/x + 2sinx^4/x } {27x^4/x + 5sinx/x } = lim_{x->0} \frac {3 + 2sinx^3}{ 27x^3 + 5}$
Tu stai facendo una cosa di questo tipo:
$lim_{x->0} \frac { alpha(x) + beta(x) } { gamma(x) + delta(x) } = lim_{x->0} \frac { alpha(x) + L_beta } { gamma(x) + L_delta }$
Con $beta -> L_beta$ e $delta -> L_delta$ per $x -> 0$.
Che teorema te lo consente?
Un controesempio potrebbe essere
$lim_(x -> 0 ) (sin(x) - x)/x$
Questo limite vale $0$ (è semplice da verificare con De L'Hospital). Tuttavia se decidiamo di portare al limite solo "pezzi" del numeratore, p.es. $x$, ...
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x = lim_(x -> 0) sin(x)/x = 1$
Risultato che si commenta da solo...
$lim_(x -> 0 ) (sin(x) - x)/x$
Questo limite vale $0$ (è semplice da verificare con De L'Hospital). Tuttavia se decidiamo di portare al limite solo "pezzi" del numeratore, p.es. $x$, ...
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x = lim_(x -> 0) sin(x)/x = 1$
Risultato che si commenta da solo...
Se ti rispondessi... quale teorema me lo nega? 
IP
$lim_{x->x_0} f(x) = l_f $ -> $\forall \epsilon_1 > 0 \exists \delta_1 > 0 : \forall x \in B_(\delta_1) (x_0) -> |f(x) - l_f|<\epsilon_1 $
$lim_{x->x_0} g(x) = l_g $ -> $\forall \epsilon_2 > 0 \exists \delta_2 > 0 : \forall x \in B_(\delta_2) (x_0) -> |g(x) - l_g|<\epsilon_2 $
TS
$lim_{x->x_0} [ f(x)+g(x) ] = l_f + l_g $ -> $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x \in B_\delta(x_0) -> | [f(x)+g(x)] - [l_f + l_g]|<\epsilon $
con $\delta = min( \delta_1, \delta_2 )$
DIM
$| [f(x)+g(x)] - [l_f + l_g]|<\epsilon $ = $ | [f(x)-l_f] + [ g(x) - l_g]| <\epsilon $
Ma ricordiamo $ | A + B | <= |A| + |B| $ ( prima disuguaglianza triangolare ). Si ha allora
$ | [f(x)-l_f] + [ g(x) - l_g]| < | f(x) - l_f | + | g(x) - l_g | $
Per $|f(x) - l_f|<\epsilon_1$ e $|g(x) - l_g|<\epsilon_2$, possiamo allora dire
$ | [f(x)-l_f] + [ g(x) - l_g]| < | f(x) - l_f | + | g(x) - l_g | < \epsilon_1 + \epsilon_2 $
Basta allora prendere $\epsilon > \epsilon_1 + \epsilon_2$ per provare la tesi.
Mmm... no, non stavo scherzando
IP
$lim_{x->x_0} f(x) = l_f $ -> $\forall \epsilon_1 > 0 \exists \delta_1 > 0 : \forall x \in B_(\delta_1) (x_0) -> |f(x) - l_f|<\epsilon_1 $
$lim_{x->x_0} g(x) = l_g $ -> $\forall \epsilon_2 > 0 \exists \delta_2 > 0 : \forall x \in B_(\delta_2) (x_0) -> |g(x) - l_g|<\epsilon_2 $
TS
$lim_{x->x_0} [ f(x)+g(x) ] = l_f + l_g $ -> $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x \in B_\delta(x_0) -> | [f(x)+g(x)] - [l_f + l_g]|<\epsilon $
con $\delta = min( \delta_1, \delta_2 )$
DIM
$| [f(x)+g(x)] - [l_f + l_g]|<\epsilon $ = $ | [f(x)-l_f] + [ g(x) - l_g]| <\epsilon $
Ma ricordiamo $ | A + B | <= |A| + |B| $ ( prima disuguaglianza triangolare ). Si ha allora
$ | [f(x)-l_f] + [ g(x) - l_g]| < | f(x) - l_f | + | g(x) - l_g | $
Per $|f(x) - l_f|<\epsilon_1$ e $|g(x) - l_g|<\epsilon_2$, possiamo allora dire
$ | [f(x)-l_f] + [ g(x) - l_g]| < | f(x) - l_f | + | g(x) - l_g | < \epsilon_1 + \epsilon_2 $
Basta allora prendere $\epsilon > \epsilon_1 + \epsilon_2$ per provare la tesi.
"Seneca":
Spero che tu stia scherzando...
Mmm... no, non stavo scherzando
Nella mia somma ignoranza non sapevo che $lim_(x->0)(arctgx)/x=1$, sono riuscito tuttavia a provarlo.
Allora questo limite:
$lim_{x->0} \frac { 3arctanx/x + 2sinx^4/x } {27x^4/x + 5sinx/x }=3/5 no?
Allora questo limite:
$lim_{x->0} \frac { 3arctanx/x + 2sinx^4/x } {27x^4/x + 5sinx/x }=3/5 no?
"pater46":
Se ti rispondessi... quale teorema me lo nega?
Quel teorema (che tu hai trascritto con dimostrazione annessa) non è applicabile solo al denominatore di un quoziente.
@ mistake89:
Certo... E' il consiglio che ti avevo dato.
Si fa $3/5$ quel limite e non come diceva pater46.
"Seneca":
Questo limite vale $0$ (è semplice da verificare con De L'Hospital). Tuttavia se decidiamo di portare al limite solo "pezzi" del numeratore
Non sto dicendo di fare limiti solo di alcuni pezzi, ma limiti di tutti i pezzi... E nel tuo caso ti verresti a trovare con una forma del tipo $ 0/0 $ facendo effettivamente così, quindi il tuo al più è un'esempio in cui non è conveniente usare tale tecnica.
( http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_ma ... dei_limiti )
E volevo insistere su un punto... Il fatto che NON esista un teorema che "neghi" una certa affermazione, non vuol dire automaticamente che quell'affermazione sia vera. Che ragionamento è? Una logica del buon senso tutta personale.
@ v.tondi : si, mi ero impantanato con gli infinitesimi Grazie... Piuù che altro avevo visto la funzione con derive ma in 0 mi veniva tendente ad infinito... Avrò sbagliato a trascriverla.
@Seneca: Io il teorema l'ho applicato ad ogni termine del num e del denom, e, come provato da v.tondi, tale limite è esatto. Con quel teorema ti ho dimostrato che effettivamente è possibile fare quell'operazione, mi potresti spiegare bene perchè sei convinto che non sia lecito tale passaggio?
Grazie... Piuù che altro avevo visto la funzione con derive ma in 0 mi veniva tendente ad infinito... Avrò sbagliato a trascriverla.@Seneca: Io il teorema l'ho applicato ad ogni termine del num e del denom, e, come provato da v.tondi, tale limite è esatto. Con quel teorema ti ho dimostrato che effettivamente è possibile fare quell'operazione, mi potresti spiegare bene perchè sei convinto che non sia lecito tale passaggio?
"Seneca":
[quote="pater46"]Se ti rispondessi... quale teorema me lo nega?
Quel teorema (che tu hai trascritto con dimostrazione annessa) non è applicabile solo al denominatore di un quoziente.
@ mistake89:
Certo... E' il consiglio che ti avevo dato.[/quote]
Sì è da lì che sono riuscito a calcolarlo.
Grazie a tutti!
"pater46":
Non sto dicendo di fare limiti solo di alcuni pezzi, ma limiti di tutti i pezzi... E nel tuo caso ti verresti a trovare con una forma del tipo $ 0/0 $ facendo effettivamente così, quindi il tuo al più è un'esempio in cui non è conveniente usare tale tecnica.
Non è conveniente? Se il risultato a cui arrivo è sbagliato, credo proprio che la tecnica sia un po' peggio che "non conveniente".
"pater46":
( http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_ma ... dei_limiti )
Non credo che serva riportare la dimostrazione più volte (soprattutto se è presa da Wikipedia). Applicando il teorema del limite di una somma nel caso delle funzioni, puoi scrivere:
$lim_(x -> 0) 3arctanx/x + 2sinx^4/x = [ lim_(x -> 0) 3arctanx/x ] + [ lim_(x -> 0) 2sinx^4/x ] = 3 + 0$ Correttissimo.
Tu, invece, hai fatto:
$lim_(x -> 0) 3arctanx/x + 2sinx^4/x = [ lim_(x -> 0) 3arctanx/x ] + [ lim_(x -> 0) 2sinx^4/x ] = 3 + 2sin(x^3)$
Come mai è rimasta una funzione della $x$? E da quando in qua $sin(x^4)/x = sin(x^3)$ (è già una approssimazione asintotica!)?
Se qualcuno crede che io stia sbagliando, spero che intervenga e mi fermi.
Okay, allora non ho inteso bene io quello che volevi dire tu..
Quello era un passaggio intermedio, ho considerato $(sin x)^4/ x = sinx/x \cdot (sinx)^3$ e quindi ho trascritto solo il termine rimanente... Anche se comunque non avevo ancora finito di calcolare il limite!
Sono stato io a continuare a considerare gli infinitesimi di ordine superiore, anche quando effettivamente dovevano essere trascurati.
La dimostrazione l'ho riportata nel caso non mi giudicassi fonte attendibile
Quello era un passaggio intermedio, ho considerato $(sin x)^4/ x = sinx/x \cdot (sinx)^3$ e quindi ho trascritto solo il termine rimanente... Anche se comunque non avevo ancora finito di calcolare il limite!
Sono stato io a continuare a considerare gli infinitesimi di ordine superiore, anche quando effettivamente dovevano essere trascurati.
La dimostrazione l'ho riportata nel caso non mi giudicassi fonte attendibile
usa l'asintoticità e la relazione "o piccolo" dopo ti risulterà facile
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