Problema con le formule di gauss-grenn
Ho imparato la teoria rigurdante le formule di gauss grenn e in parole povere ho capito che servono a trasformare integrali doppi in integrali curvilinei per facilitare integrazioni su domini abbastanza complessi.Il punto è il seguente:
Utilizzando le formule di Gauss-Green calcolare:
$int_(+del C) (senx+3y^2)dx+(2x-e^(-y^2))dy$ dove C è il triangolo di vertici $(0,0)$, $(1,1)$,e $(2,0)$.
La mia domanda è:
L' esercizio non si presenta già sotto forma di integrale curvilineo?E allora le formule di Gauss-Green a cosa servono in questo caso? Nel caso che ho chiesto tutte cavolate (come suppongo), mi potete guidare alla risoluzione di quest'esercizio perchè non ho capito come applicare correttamente le formule e ne ho da fare parecchi di questo tipo.Grazie.
Utilizzando le formule di Gauss-Green calcolare:
$int_(+del C) (senx+3y^2)dx+(2x-e^(-y^2))dy$ dove C è il triangolo di vertici $(0,0)$, $(1,1)$,e $(2,0)$.
La mia domanda è:
L' esercizio non si presenta già sotto forma di integrale curvilineo?E allora le formule di Gauss-Green a cosa servono in questo caso? Nel caso che ho chiesto tutte cavolate (come suppongo), mi potete guidare alla risoluzione di quest'esercizio perchè non ho capito come applicare correttamente le formule e ne ho da fare parecchi di questo tipo.Grazie.
Risposte
Vedi la cosa nell'altro senso : trasforma integrali di linea in integrali doppi.
In questo caso l'integrale doppio è molto semplice.
Prova...
In questo caso l'integrale doppio è molto semplice.
Prova...
io credo che dovrebbe venire cosi:
$int_(D) 2-e^(-y)x+senxy+6y dxdy $ ma non ne sono per niente sicuro.
$int_(D) 2-e^(-y)x+senxy+6y dxdy $ ma non ne sono per niente sicuro.
anzi no, credo di aver commesso un errore dovrebbe venire cosi:
$int_(D)2+6y dxdy $
$int_(D)2+6y dxdy $
La forma corretta è $int int_D (2-6y)dxdy $ in quanto il Teorema di Gauss Green dice che :
$int int _D(Q_x-P_y)dxdy = int_(del^(+)D) Pdx+Qdy $ .
$int int _D(Q_x-P_y)dxdy = int_(del^(+)D) Pdx+Qdy $ .
Si me ne sono reso conto nella seconda risposta.Camillo per gli estremi di integrazione posso dire che
$0<=x<=2$ e $0<=y<=1$ grazie.
$0<=x<=2$ e $0<=y<=1$ grazie.
Attenzione il dominio di integrazione va spezzato in 2 parti....
che parti?
Il dominio di integrazione non è normale rispetto ad $x$, ma lo è rispetto ad $y$. pertanto se vuoi integrare lasciando la $x$ libera (indipendente da $y$) dovrai spezzare il triangolo in due parti (tracciando l'altezza relativa alla base che giace sull'asse x). Se invece consideri la $y$ libera, allora basta considerare un solo dominio. Prova.
Allora:
1) non riesco a capire perchè il dominio non è normale rispetto a x.
Proviamo a fare in entrambi i modi partendo dal secondo:
$int_(0)^(1) dy int_(0)^(2) (2-6y)dy$.
é corretto?
1) non riesco a capire perchè il dominio non è normale rispetto a x.
Proviamo a fare in entrambi i modi partendo dal secondo:
$int_(0)^(1) dy int_(0)^(2) (2-6y)dy$.
é corretto?
No. Milito, qual è la definizione di dominio normale?
Dominio perpendicolare all'asse y
La regione è delimitata per l'asse y da due valori numerici e per l'asse x da due funzioni della variabile y continue nell'intervallo che la delimita.
La regione è delimitata per l'asse y da due valori numerici e per l'asse x da due funzioni della variabile y continue nell'intervallo che la delimita.
Ok. Allora adesso riprova a scrivere il dominio in forma normale rispetto ad $y$: dovrai ottenere delle limitazioni del tipo
[tex]$a\le y\le b,\qquad \alpha(y)\le x\le\beta(y)$[/tex]
[tex]$a\le y\le b,\qquad \alpha(y)\le x\le\beta(y)$[/tex]
$0<=y<=1$ ; $y<=x<=-y+2$ ?
Sì, sono esattamente quelle.
e se volessi una forma del dominio normale all asse x come dovrei fare?
Devi spezzare il dominio in due:
$0<=x<= 1 ; 0<=y <= x $
$1<=x <= 2 $ completa tu tra cosa deve variare la $y $ .
$0<=x<= 1 ; 0<=y <= x $
$1<=x <= 2 $ completa tu tra cosa deve variare la $y $ .
$x<=y<=x-2$, esatto?
Provo a postare un esercizio simile che ho svolto per vedere se ho compreso al meglio i procedimenti.
L'esercizio è il seguente.
Calcolare attraverso le formule di Gauss-Green:
$int_(delC) (xsen(y^2)-y^2)dx+(x^2ycos (y^2)+3x)dy $ , dove C è il trapezio di vertici $(0,-2),(1,-1),(1,1) e (0,2)$.
Attraverso il teorema di Gauss Green ho calcolato l'integrale doppio:
$int_(C) (2xycos(y^2)+3-2xycos(y^2)+2y)dxdy$ e ho "spezzato" il dominio in questo modo:
$ 2<=y<=1 , 0<=x<=-y+2$;
$1<=y<=-1, -y+2<=x<=1$;
$-1<=y<=-2 , 1<=x<=y+2$. Il risultato sarà dato dalla somma di tre integrali doppi.Qualcuno mi conferma? Grazie.
L'esercizio è il seguente.
Calcolare attraverso le formule di Gauss-Green:
$int_(delC) (xsen(y^2)-y^2)dx+(x^2ycos (y^2)+3x)dy $ , dove C è il trapezio di vertici $(0,-2),(1,-1),(1,1) e (0,2)$.
Attraverso il teorema di Gauss Green ho calcolato l'integrale doppio:
$int_(C) (2xycos(y^2)+3-2xycos(y^2)+2y)dxdy$ e ho "spezzato" il dominio in questo modo:
$ 2<=y<=1 , 0<=x<=-y+2$;
$1<=y<=-1, -y+2<=x<=1$;
$-1<=y<=-2 , 1<=x<=y+2$. Il risultato sarà dato dalla somma di tre integrali doppi.Qualcuno mi conferma? Grazie.
"MILITO1991":
$x<=y<=x-2$, esatto?
No , $ 1<= x <= 2 ; 0 <=y <= 2-x $.
é sbagliato anche l esercizio che ho postato?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo