Problema con la derivata di una funzione composta
Salve a tutti. Ho questa funzione $ arctan (log(x^3/sqrt(x^2-1))) $ di cui calcolare massimo e minimo. Trovo che il massimo relativo è pigreco/2 cui la funzione tende agli estremi (1, infinito) , mentre per trovare il minimo calcolo la derivata, che dovrebbe essere $ (3x^2sqrt(x^2-1) - x^3/2sqrt(x^2-1))/((1+(log(x^3/sqrt(x^2-1)))^2)(x^3/sqrt(x^2-1))(x^2-1) $ che però risulta sempre positiva. Non riesco a trovare l'errore, spero possiate aiutarmi, grazie!
Risposte
Ricontrolla cosa hai scritto perché non si visualizza bene
fatto, ora son corrette, perdonate l'errore
Non capisco cosa intendi con "trovo che il massimo relativo è $\pi/2$": il valore del massimo o il punto di massimo? E in ogni caso la cosa non torna.
Dunque, il dominio della funzione si ricava ponendo
$$\frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}>0$$
da cui $D=(1,+\infty)$. Per i limiti abbiamo
$$\lim_{x\to 1^+} f(x)=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}$$
mentre, calcolando la derivata si ha
$$f'(x)=\frac{1}{1+\log^2\left(\frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\right)}\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3}\cdot\frac{3x^2\sqrt{x^2-1}-x^3\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$$
Dal momento che i primi due termini di questo prodotto risultano sempre positivi sul dominio, basta analizzare il comportamento del terzo:
$$\frac{3x^4-3x^2-x^4}{(x^2-1)^{3/2}}\ge 0$$
e dal momento che anche il denominatore è sempre positivo e definito sul dominio, basta risolvere $2x^4-3x^2\ge 0$, le cui soluzioni sono, tenendo conto del dominio, $x\ge\sqrt{3/2}$. Risulta quindi che il punto $x=\sqrt{3/2}$ è di minimo (assoluto) e in tale punto la funzione vale $f(\sqrt{3/2})=\arctan(\log({3\sqrt{3}}/2))$. Il valore $y=\pi/2$ risulta, invece, l'estremo superiore (non il massimo!) della funzione.
Dunque, il dominio della funzione si ricava ponendo
$$\frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}>0$$
da cui $D=(1,+\infty)$. Per i limiti abbiamo
$$\lim_{x\to 1^+} f(x)=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}$$
mentre, calcolando la derivata si ha
$$f'(x)=\frac{1}{1+\log^2\left(\frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\right)}\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3}\cdot\frac{3x^2\sqrt{x^2-1}-x^3\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$$
Dal momento che i primi due termini di questo prodotto risultano sempre positivi sul dominio, basta analizzare il comportamento del terzo:
$$\frac{3x^4-3x^2-x^4}{(x^2-1)^{3/2}}\ge 0$$
e dal momento che anche il denominatore è sempre positivo e definito sul dominio, basta risolvere $2x^4-3x^2\ge 0$, le cui soluzioni sono, tenendo conto del dominio, $x\ge\sqrt{3/2}$. Risulta quindi che il punto $x=\sqrt{3/2}$ è di minimo (assoluto) e in tale punto la funzione vale $f(\sqrt{3/2})=\arctan(\log({3\sqrt{3}}/2))$. Il valore $y=\pi/2$ risulta, invece, l'estremo superiore (non il massimo!) della funzione.
Ci sono ora, grazie mille. Ovviamente ho fatto confusione tra massimo e estremo superiore. Scusatemi per le imprecisioni!
Posso quindi affermare che $ arctan( log( 3sqrt3/2)) $ è estremo inferiore della funzione?
Minimo! Ma che scrivo arabo?
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