Problema con funzioni composte per Max e min relativi

[ruospo1]

Scusatemi ragazzi ho un problema col determinare il max e min relativo di una funzione, più che altro ho un dubbio
Esempio:
f(x,y)= $x* sqrt((y-x)^2)^3$ sarebbe x moltiplicato la radice cubica di (y-x)^2 ,ora dovrei determinare la derivata prima rispetto ad x e rispetto ad y ma rispetto al dominio della funzione?
Cioè in questo caso il dominio della radice cubica è per ogni valore appartenente ad R^2 quindi come dovrei fare, devo considerare solo la quantità sotto la radice e fare derivata prima e seconda e mista di x e y , o considerare tutta la funzione e fare la derivata?
Perfavore aiutatemi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[^Tipper^1]

$f(x,y)=x(y-x)^(2/3)$

$f_x=(y-x)^(2/3)-2/3x(y-x)^(-1/3)$

$f_y=2/3x(y-x)^(-1/3)$

[ruospo1]

Invece quando si presentano funzioni del tipo :
f(x,y)= $arctan (x/y) + arctan (y/x)$
f(x,y)=$ log(1+x^2y^2)$
f(x,y)=$sqrt(1+x^2+y^2)$

Ho dei esercizi svolti su queste funzioni e li risolve considerendo il dominio delle singole funzioni ad esempio per il logaritmo considera solo la parte interna $(1+x^2y^2)$
tralasciando che la derivata per il$ log(x)$ è $1/x$ , lo stesso fa per la radice considera il radicando e fa le derivate su di esso e non la derivata della radice xkè? Sapreste spiegarmelo grazie

[^Tipper^1]

Quando fai la derivata di una $f(x,y)$ rispetto a $x$, devi considerare la $y$ costante (come se fosse un numero).

Quindi, se hai $f(x,y)=arctg(x/y)+arctg(y/x)$, $f_x=1/(1+(x/y)^2)(1/y)+1/(1+(y/x)^2)(-y/x^2)$

[ruospo1]

Il problema però sta poi nel porre le derivate prime uguali a zero per trovare poi i punti dove calcolare il valore dell'Hessiano, ed in questo caso dalle derivate prima esce una espressione bella tosta. Per questo avevo quel dubbbio quindi il dominio della funzione che viene proposta non si deve considerare per calcolare le derivate prime?
In riferimento all'esercizio precedente il Dominio dell'arctang varia tra$ [-inf;+inf]$ quidi per questo motivo viene considerata tutta la funzione
Invece se considero sempre l'esercizio che ho proposto sopra dove c'è il Logaritmo il Dominio impone di porre la quantità tra parentesi positiva quidi , le derivate rispetto ad x e y vengono fatte rispetto a quella quantità, è cosi o sto dicendo una cavolata enorme?
Scusatemi se vi sto tartassando ma è una cosa importantissima devo fare l'esame di Analisi 2

[Sk_Anonymous]

Quelle due funzioni, quando calcoli i punti critici, darebbero le stesse soluzioni anche considerando la derivata del logaritmo e della radice, a patto di accettarle se facenti parte del dominio.

[ruospo1]

In definitiva allora basta fare soltanto le derivate della funzione proposta il domino non centra nulla, il problema che sorge è poi nell'impostare le due derivate prime uguali a zero esce un sistema che a mio modo ci vulole una mezz'ora per risolverno no?
Per questo avevo chiesto del dominio perche gli esercizi che ho proposto sopra li studiano considerando soltanto il domino della funzione ad esempio per la radice il domino è impostare il radicando positivo quindi prendesolo il radicando in considerazione e ne fa la derivata prima rispetto ad x e y questo procedimento è giusto o è solo una delle tante cavolate che scrivono su internet?
Questo è il mio dubbio, perchè io gli esercizi per max e min relativi li ho risoltiti sempre eseguendo la derivata prima rispetto alla funzione proposta e non rispetto al dominio.

[Sk_Anonymous]

Non ti stai esprimendo in modo molto corretto, in ogni modo credo di avere capito cosa intendi. Lo studio deve essere fatto facendo le derivate parziali prime e seconde con la funzione completa e stando attenti all'insieme di definizione della funzione medesima. Se poi, per trovare i punti critici, si nota che il sistema di equazioni risolvente è equivalente ad un sistema che si ottiene facendo delle derivate più semplici, questo è perfettamente lecito. Quando però vai a fare le derivate seconde, per esempio nel calcolo dell'Hessiano, si capisce che devi comunque prendere le derivate prime della funzione completa.

[ruospo1]

Si si scusami era proprio questo che io volevo chiedere e di cui avevo il dubbio , perchè mi sono capitati esercizi con differenze tra due arctang di funzioni fratte, il problema non era tanto nel fare le derivate prime , il problema sorgeva poi nel imporre entrambe a zero e calcolare i punti critici e non ti dico usciva un equazione del settimo-sesto grado quasi irrisolvibile, percio avevo chiesto del dominio della funzione perchè in questi casi si considera solo la parte numerica della funzione proposta e sia le derivate che le equazioni per i punti critici sono più abordabili in confronto all'equazione e alle derivate ottenute dalla funzione intera.
Quindi questo metodo è possibile applicarlo o no?
Grazie mille per la delucidazione