Problema con funzione continua

[fabio.ori.1]

Ciao a tutti, ho avuto difficoltà in questo esercizio di analisi: data una funzione $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ continua nell'intervallo di definizione e tale che ogni punto è di massimo o di minimo locale, dimostrare che $f$ è costante, o, se ciò non avviene necessariamente, mostrarlo con un controesempio.

Mi sembra che la funzione debba essere costante, ma non riesco a dimostrarlo a partire dalle definizioni di massimo e minimo locale e di continuità.

Grazie mille!

[gugo82]

Mi pare che questo è un esercizio da Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica I, esercizi finali.
Prova a guardare lì… Se non trovi, ne parliamo.