Principio di induzione (90355)

[92kiaretta]

Potreste vedere se ho svolto correttamente questo esercizio?
Sia z appartenente a C\{1}. Dimostrare che per ogni n appartenente a N è vero che

[math]\sum_{k=0}^{\n-1} z^{k}=\frac{1-z^{n}}{1-z}[/math]

Io l'ho riscritta come

[math] z^{0}+......+z^{n-1}= \frac{1-z^{n}}{1-z} [/math]

dopodichè ho provato se è vera per n=1 e ottengo così
1=1 quindi è vera
quindi supposta vera P(n) devo dimostrare che è vera P(n+1) e ho quindi

[math]z^{0}+.....+z^{n}={\frac{1-z^{n+1}}{1-z}} [/math]

[math]z^{0}+.....+z^{n}={\frac{1-z^{n}*z}{1-z}} [/math]

In questo modo la seconda parte la semplifico e mi resta z^n=z^n e quindi ho terminato la dimostrazione.

é corretto?

[ciampax]

Il passo base va bene. Per il passo induttivo, devi dimostrare che è vero che

[math]z^0+\ldots+z^n+z^{n+1}=\frac{1-z^{n+2}}{1-z}[/math]

.

Poiché assumi vero che

[math]z^0+\ldots+z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}[/math]

allora

[math]z^0+\ldots+z^n+z^{n+1}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}+z^{n+1}=
\frac{1-z^{n+1}+z^{n+1}-z^{n+2}}{1-z}=\frac{1-z^{n+2}}{1-z}[/math]

e quindi il risultato.

[92kiaretta]

Non riesco a capire perché in questo passaggio

[math]z^0+\ldots+z^n+z^{n+1}=\frac{1-z^{n+2}}{1-z}[/math]

si aggiunge da una parte z^n+1 e dall'altra viene z^n+2

[ciampax]

La proposizione che vuoi dimostrare è questa:

[math]P(n):\ \ z^0+\ldots+z^n=\frac{1-z^n}{1-z}[/math]

Cosa succede se voglio scrivere

[math]P(n+1)[/math]

(che è ciò che si dimostra nel passo induttivo) e cioè se trasformo n in n+1?