Principio di induzione

[galles90]

Buonasera amici, ho un esercizio che mi chiede di dimostrare :

se \(\displaystyle n\in\mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle n<1 \leftrightarrow n=0 \)

Io ho dimostrato nel modo seguente:

Supponiamo per assurdo che esiste un insieme \(\displaystyle A={n: 0 1) \(\displaystyle 0 \in A \)
2) \(\displaystyle \forall n\in A \), allora anche \(\displaystyle n+1 \in A \)
la prima proprietà del principio è ovvia, invece per la seconda si dovrebbe verificare che :

\(\displaystyle \forall n\in A \) si ha \(\displaystyle 0 quindi vale solo per n =0 . L'ipotesi del testo è corretta.

[kobeilprofeta]

Così come lo hai fatto non credo vada bene, perchè altrimenti non esisterebbero neanche numeri tra 4 e 8.
Se per induzione anche il numero successivo deve stare nell'insieme, c'è qualcosa che non va.

[Luca.Lussardi]

Anzitutto $0\in A$ e' falso per come hai definito $A$. Per capire esattamente come va svolto e' essenziale che dici che cosa sai gia' di $\mathbb N$.

[galles90]

Ciao, mi scuso per l'errore
Rileggendo l'esercizio ho pensato che potrebbe essere risolto come segue " tralasciando la vecchia dimostrazione "

Il testo chiede se \(\displaystyle n\in\mathbb{N} : n<1 \leftrightarrow n=0 \)

Sia \(\displaystyle A\supseteq \mathbb{N} \), non vuoto definito come segue \(\displaystyle A= n\in\mathbb{N} : 0\leq n \leq 1 \), inoltre sia \(\displaystyle B-A = n\in\mathbb{N}: n+1 > 1 \) " per \(\displaystyle B-A \) intendo il complemento di \(\displaystyle A \) ", l'insieme complemento deve avere minimo \(\displaystyle m \) per un certo \(\displaystyle n \), che sarà dalla forma \(\displaystyle m=n+1 \). Supponiamo che sull'insieme \(\displaystyle A \) valga il principio di induzione, si ha "NON RIPORTO IL PRINCIPIO DI INDUZIONE" :


La prima proprietà è verificata, invece per la seconda si ha:

se per ipotesi che vale : \(\displaystyle 0 \leq n \leq \ 1 \) allora per P.I. si ha che anche \(\displaystyle 0\leq n+1 \leq 1 \), ma l'elemento \(\displaystyle n+1 \in B-A \), allora l'unico elemento che soddisfa la relazione dell'insieme \(\displaystyle A \) è \(\displaystyle n=0 \)

[Luca.Lussardi]

Non ho capito quasi nulla della tua dimostrazione, per altro il complementare di $A$ in $\mathbb N$ non e' quello che hai scritto, $n+1>1$ ti fornisce $n>0$ e non $n>1$, quest'ultima dovendo essere la condizione che ti dice che non sei in $A$. Ripeto, secondo me e' essenziale sapere che cosa sai gia' di $\mathbb N$ per capire come va svolto. Volendo cercare di dedurlo dagli assiomi di Peano forse potresti fare cosi'. Sappiamo fare la somma, e sappiamo che $n

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[galles90]

Ho inteso che \(\displaystyle A \) fosse limitato. Applicando il principio di induzione, si presenta l'elemento \(\displaystyle n+1 \) ma \(\displaystyle n+1\in B-A \) è non \(\displaystyle A \), allora \(\displaystyle n=0 \)

[Luca.Lussardi]

Non ti seguo: per come e' scritta, la tua dimostrazione mi e' troppo nebulosa.