Principio di induzione

[zerbo1000]

hello! qualche anima pia può spiegarmi in parole semplici... ma davvero semplici.... la dimostrazione per assurdo del principio di induzione. Perché fin ora da tutto quello che ho trovato non c'ho capito una mazza!!!

grazie

[Luca.Lussardi]

A che dimostrazione ti riferisci? Il principio di induzione come teorema si inserisce a livello di teoria assiomatica degli insiemi quando introduci l'assioma di infinità ma ha una dimostrazione abbastanza semplice.

[zerbo1000]

si, lo so, è semplice, pero non lo capisco, non capisco molti passaggi, anche se il teorema lo capito.

[Luca.Lussardi]

Per l'assioma di infinita' esiste un insieme $X$ tale che $\emptyset \in X$ e ogni volta che $x\in X$ si ha anche $x \cup\{x\}\in X$. Ora poni $\mathcal F$ la famiglia di tutti i sottoinsiemi di $X$ che verificano tali due proprietà e fanne l'intersezione, chiamamola $\omega$. Si vede subito che anche $\omega$ verifica le due proprieta' di $X$. Se ora $Y$ verifica le due proprieta' anche $X\cap Y$ le verifica e quindi $\omega \subseteq X\cap Y\subseteq Y$ per cui $\omega$ e' il piu' piccolo insieme che verifica le due proprieta' assegnate; hai quindi trovato un unico (si fa vedere subito) insieme che verifica le due proprieta' ed e' tale per cui ogni volta che $Y$ le verifica si ha $\omega\subseteq Y$. Questo implica che se $A\subseteq \omega$ e' tale per cui $\emptyset \in A$ e $n \in A$ implica $n\cup\{n\}\in A$ allora $A=\omega$, che e' il principio di induzione.

[zerbo1000]

va bhe fa niente grazie...

[Luca.Lussardi]

come fa niente... questa e' la dimostrazione, cosa non capisci?

[zerbo1000]

a parte che fra tutti i modi che ho visto di spiegare questa dimostrazione forse questo è stato il più complicato, comunque non è colpa tua sono io che devi studiare di più, adesso mi metto sotto e vediamo cosa viene fuori.... poi magari ci risentiamo

grazie comunque

[Luca.Lussardi]

Sinceramente a me sembra molto semplice concettualmente, la cosa "grande" e' che stai di fatto postulando l'esistenza di un insieme che dara' origine ai numeri naturali.. di fatto il principio di induzione e' gia' l'assioma di infinita', il resto e' pura tecnica.