Primitive di un campo, Faccio bene l'esercizio?
Ragazzi oggi vi mostro un esercizio sul calcolo delle primitive di un campo, secondo il procedimento che ci ha dato il prof per svolgerle, l'esercizio mi ridà un certo valore, mentre dai risultati la primitiva non esiste, quindi non capisco se ho sbagliato io oppure ho svolto correttamente l'esercizio.
Svolgo l'esercizio, integrando A1 rispetto ad x:
$ intA1dx= xln(xy)+ h(y) $
Derivo rispetto ad y la funzione ottenuta:
$ d/dy xln(xy)= x/y +h'(y) $ :
infine eguaglio la funzione ottenuta con A2 ed esce
$ x/y +h'(y)=x/y rArr h'(y)=0 rArr h(y)=c $
quindi le primitive del campo sono:
$ xln(xy)+c $
Mentre dalle soluzioni del professore, le primitive non esistono. Non capisco quindi se sbaglio io oppure è stato lui a mettere online dei risultati sbagliati...
Determinare tutte le primitive del campo $ lg(xy) + 1;
x/y $
nel primo quadrante.
Svolgo l'esercizio, integrando A1 rispetto ad x:
$ intA1dx= xln(xy)+ h(y) $
Derivo rispetto ad y la funzione ottenuta:
$ d/dy xln(xy)= x/y +h'(y) $ :
infine eguaglio la funzione ottenuta con A2 ed esce
$ x/y +h'(y)=x/y rArr h'(y)=0 rArr h(y)=c $
quindi le primitive del campo sono:
$ xln(xy)+c $
Mentre dalle soluzioni del professore, le primitive non esistono. Non capisco quindi se sbaglio io oppure è stato lui a mettere online dei risultati sbagliati...
Risposte
Ad occhio direi che quel campo ammette eccome potenziale, vediamo se ho ragione.
Cominciamo con un pochetto di teoria: un campo vettoriale ammette primitiva se e solo se è conservativo. Gli esempi che si trovano continuamente in fisica sono i campi centrali (gravitazionale, elettrostatico ad esempio) e quelli dovuti all'azione di forze elastiche.
Se consideri un campo $vec E = ( (E_x), (E_y) ) $ allora esso è conservativo se la forma differenziale associata $dE = E_x dx + E_y dy$ è esatta, e dunque ammette primitive (detta anche potenziale, in quanto è così che si indica di solito in fisica).
Ora, per campi vettoriali definiti su uno spazio semplicemente connesso, la forma dE è esatta $<=>$ è chiusa. Per verificare la chiusura basta verificare che siano vere le uguaglianze
$(del E_i)/(del x_j) = (del E_j)/(del x_i) text( ) AA(i,j) text( ) t.c. text( ) i != j$
Nel tuo caso quindi si ha che $vec E text( esatto) <=> vec E text( chiuso) <=> (del E_x)/(del y) = (del E_y)/(del x)$ e facendo i conti vedi che questo è vero, quindi le primitive esistono eccome.
I tuoi conti dovrebbero essere giusti, vengono anche a me così. Direi che il tuo professore ha messo delle soluzioni sbagliate, magari ha confuso degli esercizi (non sia mai che un professore sbagli a risolvere un esercizio)
Cominciamo con un pochetto di teoria: un campo vettoriale ammette primitiva se e solo se è conservativo. Gli esempi che si trovano continuamente in fisica sono i campi centrali (gravitazionale, elettrostatico ad esempio) e quelli dovuti all'azione di forze elastiche.
Se consideri un campo $vec E = ( (E_x), (E_y) ) $ allora esso è conservativo se la forma differenziale associata $dE = E_x dx + E_y dy$ è esatta, e dunque ammette primitive (detta anche potenziale, in quanto è così che si indica di solito in fisica).
Ora, per campi vettoriali definiti su uno spazio semplicemente connesso, la forma dE è esatta $<=>$ è chiusa. Per verificare la chiusura basta verificare che siano vere le uguaglianze
$(del E_i)/(del x_j) = (del E_j)/(del x_i) text( ) AA(i,j) text( ) t.c. text( ) i != j$
Nel tuo caso quindi si ha che $vec E text( esatto) <=> vec E text( chiuso) <=> (del E_x)/(del y) = (del E_y)/(del x)$ e facendo i conti vedi che questo è vero, quindi le primitive esistono eccome.
I tuoi conti dovrebbero essere giusti, vengono anche a me così. Direi che il tuo professore ha messo delle soluzioni sbagliate, magari ha confuso degli esercizi (non sia mai che un professore sbagli a risolvere un esercizio)
Conoscendo il professore, NON PUO' aver sbagliato l'esercizio. a volte capita di confondersi con i risultati... Grazie, comunque!
Secondo me, con primo quadrante intende l'insieme delle coppie dei punti per cui $x\ge 0,\ y\ge 0$, per cui...
credo che per primo quadrante intenda l'insieme dei punti di coordinate strettamente positive, altrimenti già il termine $E_x$ non sarebbe definito. Per me c'è solo stata un minimo di confusione nel numerare le soluzioni.
Quando è capitato a me con un integrale di analisi 2 ho passato un pomeriggio nella disperazione prima di farmi coraggio e chiedere al professore se per caso ci fosse un errore... che brutti momenti
Quando è capitato a me con un integrale di analisi 2 ho passato un pomeriggio nella disperazione prima di farmi coraggio e chiedere al professore se per caso ci fosse un errore... che brutti momenti
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