Primitive di $ 1/sqrt(1 \pm x^n)$ con $n \in \N$
Cercavo semplicemente qualche suggerimento per risolvere integrali nella forma
$\int 1/sqrt(1 \pm x^n)\,dx$ con $n \in \N$
$\int 1/sqrt(1 \pm x^n)\,dx$ con $n \in \N$
Risposte
Se non ricordo male, se $n>=3$ non si riesce a trovare una soluzione elementare.
Il caso $n=1$ è molto semplice.
Per quanto riguarda $n=2$, tieni presente che
Il caso $n=1$ è molto semplice.
Per quanto riguarda $n=2$, tieni presente che
- [*:1pejsleg]la derivata di $text{arcsin}(x)$ è $1/(sqrt(1-x^2))$;[/*:m:1pejsleg][*:1pejsleg] la derivata di $log(x+sqrt(1+x^2) )$ è $1/(sqrt(1+x^2))$[/*:m:1pejsleg][/list:u:1pejsleg]
Mi ero dimenticato di specificare $ n > 2 $
Le funzioni integrali non sono funzioni elementari.
Per calcolare comunque quei due integrali puoi ricorrere alla serie binomiale.
Ad esempio, si ha:
\[
\frac{1}{\sqrt{1-x^N}} = (1-x^N)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ \binom{-1/2}{n}\ x^{Nn}
\]
e, dato che:
\[
\begin{split}
\binom{-1/2}{n} &:= \frac{\overbrace{(-1/2)(-1/2-1)(-1/2 -2)\cdots (-1/2-n+1)}^{n \text{ fattori}}}{n!}\\
&= (-1)^n\ \frac{1\cdot3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n\ n!}\\
&= (-1)^n\ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
\end{split}
\]
hai:
\[
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = \sum_{n=0}^\infty \int_0^x \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\ t^{Nn}\ \text{d} t=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1}\; .
\]
Facendo un po' di conti, si vede che quella a secondo membro è una funzione di tipo ipergeometrico:
\[
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = x\ _2F_1\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; x^N\right)
\]
Con la stessa tecnica, se non ho sbagliato i conti, si ottiene:
\[
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^N}}\ \text{d} t =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1} = x\ _2F_1\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; -x^N\right)\; .
\]
Per calcolare comunque quei due integrali puoi ricorrere alla serie binomiale.
Ad esempio, si ha:
\[
\frac{1}{\sqrt{1-x^N}} = (1-x^N)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ \binom{-1/2}{n}\ x^{Nn}
\]
e, dato che:
\[
\begin{split}
\binom{-1/2}{n} &:= \frac{\overbrace{(-1/2)(-1/2-1)(-1/2 -2)\cdots (-1/2-n+1)}^{n \text{ fattori}}}{n!}\\
&= (-1)^n\ \frac{1\cdot3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^n\ n!}\\
&= (-1)^n\ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
\end{split}
\]
hai:
\[
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = \sum_{n=0}^\infty \int_0^x \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\ t^{Nn}\ \text{d} t=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1}\; .
\]
Facendo un po' di conti, si vede che quella a secondo membro è una funzione di tipo ipergeometrico:
\[
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = x\ _2F_1\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; x^N\right)
\]
Con la stessa tecnica, se non ho sbagliato i conti, si ottiene:
\[
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^N}}\ \text{d} t =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1} = x\ _2F_1\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; -x^N\right)\; .
\]
Quindi per calcolare la primitiva di
$ \frac{1}{\sqrt{1\pm{x^n}}}\,dx$
devo necessariamente ricorrere alla funzione integrale?
$ \frac{1}{\sqrt{1\pm{x^n}}}\,dx$
devo necessariamente ricorrere alla funzione integrale?
Perchè, conosci altri modi?
Che cos'è una primitiva di una funzione continua? E come si esprime?
Che cos'è una primitiva di una funzione continua? E come si esprime?
"gugo82":
Perchè, conosci altri modi?
Che cos'è una primitiva di una funzione continua? E come si esprime?
Sì ma ad esempio, se c'è calcolare un integrale elementare [o per meglio dire un integrale elementarmente risolubile con le tecniche note] mi sembra eagerato scomodare la funzione integrale, come disse qualcuno una volta su questo forum, è come ammazzare una zanzara con un cannone. Che so tanto per fare un esempio banale giusto per capirci, se devo calcolare una banalità tipo la primitiva della funzione $ f : \RR \to \RR$ definita da $f(x) := x$, è sbagliato scrivere
$\int x dx$
oppure l'unica scrittura corretta quest'altra
$\int_0^x t dt$
Perdonami questa breve digressione ma mi hai fatto venire questo dubbio.
Nota che se \(f:I\to \mathbb{R}\) è continua nell'intervallo \(I\neq \varnothing\), per il teorema di unicità delle primitive a meno di costanti additive ed il teorema fondamentale del Calcolo Integrale, hai:
\[
\int f(x)\ \text{d} x = \left\{ F(x_0;x) +C,\ C\in \mathbb{R}\right\}
\]
ove \(F(x_0;\cdot)\) è la funzione definita in \(I\) ponendo:
\[
F(x_0;x):=\intop_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
con \(x_0\in I\) fissato ad arbitrio.
Insomma, quello che voglio dire è: guarda che il calcolo meccanico di una primitiva (quando esso è possibile) è solo una scorciatoia; in realtà lo puoi fare solo perchè la teoria te lo consente.
\[
\int f(x)\ \text{d} x = \left\{ F(x_0;x) +C,\ C\in \mathbb{R}\right\}
\]
ove \(F(x_0;\cdot)\) è la funzione definita in \(I\) ponendo:
\[
F(x_0;x):=\intop_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
con \(x_0\in I\) fissato ad arbitrio.
Insomma, quello che voglio dire è: guarda che il calcolo meccanico di una primitiva (quando esso è possibile) è solo una scorciatoia; in realtà lo puoi fare solo perchè la teoria te lo consente.
"gugo82":
Insomma, quello che voglio dire è: guarda che il calcolo meccanico di una primitiva (quando esso è possibile) è solo una scorciatoia; in realtà lo puoi fare solo perchè la teoria te lo consente.
Adesso che me lo fai notare, credo che si possa constatare una sorta di analogia tra il calcolo meccanico delle primitive ed il celeberrimo u-u© [nel senso che entrambi i metodi sono delle scorciatoie].
Ancora una volta mi hai illuminato sulla verità
Ma sbaglio o le funzioni ipergeometriche da te usate per esprimere quelle due primitive sono funzioni di 4 variabili?
"magliocurioso":
Ma sbaglio o le funzioni ipergeometriche da te usate per esprimere quelle due primitive sono funzioni di 4 variabili?
Non proprio, ma più o meno sì...
Insomma, la funzione ipergeometrica (di Gauss) \(_2F_1(a,b;c;x)\) dipende dai tre parametri \(a,b,c\) e dalla variabile \(x\). Per chi non ha mai avuto il (dis)piacere di imbattersi nelle funzioni ipergeometriche dico che:
\[
_2F_1(a,b;c;x):= \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n\ (b)_n}{(c)_n}\ x^n\; ,
\]
in cui \((\cdot )_n\) è il cosiddetto simbolo di Pochhammer definito da:
\[
(\alpha)_n := \frac{\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha)}\; .
\]
Evidentemente, la definizione di \(_2F_1\) funziona anche se i parametri \(a,b,c\) e la variabile \(x\) sono complessi.
E chi se lo sarebbe mai aspettato che dietro un semplice calcolo di una primitiva apparentemente banale potesse nascondersi un mondo così affascinante? 
Quindi, se non ho capito male, esplicitando al massimo si dovrebbe ottenere
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = x\ _2F_1( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; x^N) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_n\ (\frac{1}{N})_n}{(1+\frac{1}{N})_n}\ x^(nN) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\Gamma (\frac{1}{2})})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})}{(\frac{\Gamma (1+\frac{1}{N} +n)}{\Gamma (1+\frac{1}{N})})}\ x^(nN) $
e anche
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^N}}\ \text{d} t = x\ _2F_1( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; -x^N) = \sum_{n=0}^\infty - \frac{(\frac{1}{2})_n\ (\frac{1}{N})_n}{(1+\frac{1}{N})_n}\ x^(nN) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty - \frac{(\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\Gamma (\frac{1}{2})})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})}{(\frac{\Gamma (1+\frac{1}{N} +n)}{\Gamma (1+\frac{1}{N})})}\ x^(nN) $
Sempre ammesso che io non abbia sbagliato, esiste qualche proprietà della funzione $Gamma$ che permetta di semplificare qualcosa?
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = x\ _2F_1( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; x^N) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_n\ (\frac{1}{N})_n}{(1+\frac{1}{N})_n}\ x^(nN) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\Gamma (\frac{1}{2})})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})}{(\frac{\Gamma (1+\frac{1}{N} +n)}{\Gamma (1+\frac{1}{N})})}\ x^(nN) $
e anche
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^N}}\ \text{d} t = x\ _2F_1( \frac{1}{2}, \frac{1}{N}; 1+\frac{1}{N}; -x^N) = \sum_{n=0}^\infty - \frac{(\frac{1}{2})_n\ (\frac{1}{N})_n}{(1+\frac{1}{N})_n}\ x^(nN) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty - \frac{(\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\Gamma (\frac{1}{2})})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})}{(\frac{\Gamma (1+\frac{1}{N} +n)}{\Gamma (1+\frac{1}{N})})}\ x^(nN) $
Sempre ammesso che io non abbia sbagliato, esiste qualche proprietà della funzione $Gamma$ che permetta di semplificare qualcosa?
Beh, se fai bene i conti devi necessariamente recuperare le due espansioni in serie:
\[
\begin{split}
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1}\\
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^N}}\ \text{d} t &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1}\; .
\end{split}
\]
La proprietà della \(\Gamma\) che si usa in questo tipo di contazzi è di solito la relazione di ricorrenza \(\Gamma (x+1)=x\Gamma(x)\).
\[
\begin{split}
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1}\\
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^N}}\ \text{d} t &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\ (Nn+1)}\ x^{Nn+1}\; .
\end{split}
\]
La proprietà della \(\Gamma\) che si usa in questo tipo di contazzi è di solito la relazione di ricorrenza \(\Gamma (x+1)=x\Gamma(x)\).
Ma i conti che ho scritto sopra sono sbagliati? Posso continuarli applicandoci la proprietà da te citata?
Nel tuo sviluppo ci va \(x\ (-x^N)^n =(-1)^n\ x^{Nn+1}\), e non \(-x^{Nn}\).
OK, quindi dovrei ottenere
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = ... = \sum_{n=0}^\infty (\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})(\frac{(\frac{1}{N})\Gamma(\frac{1}{N})}{(\frac{1}{N} +n)\Gamma(\frac{1}{N} +n)})\ x^(nN + 1) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty (\frac{\frac{1}{N}\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)(\frac{1}{N} +n)})\)})\ x^(nN + 1) $
ed anche
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = ... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})(\frac{(\frac{1}{N})\Gamma(\frac{1}{N})}{(\frac{1}{N} +n)\Gamma(\frac{1}{N} +n)})\ x^(nN + 1) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{\frac{1}{N}\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)(\frac{1}{N} +n)})\)})\ x^(nN + 1) $
Che altro posso fare adesso [sempre ammesso che non abbia sbagliato]?
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = ... = \sum_{n=0}^\infty (\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})(\frac{(\frac{1}{N})\Gamma(\frac{1}{N})}{(\frac{1}{N} +n)\Gamma(\frac{1}{N} +n)})\ x^(nN + 1) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty (\frac{\frac{1}{N}\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)(\frac{1}{N} +n)})\)})\ x^(nN + 1) $
ed anche
$ int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^N}}\ \text{d} t = ... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)})\ (\frac{\Gamma (\frac{1}{N} + n)}{\Gamma (\frac{1}{N})})(\frac{(\frac{1}{N})\Gamma(\frac{1}{N})}{(\frac{1}{N} +n)\Gamma(\frac{1}{N} +n)})\ x^(nN + 1) = $
$ = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{\frac{1}{N}\Gamma (\frac{1}{2} +n)}{\sqrt(\pi)(\frac{1}{N} +n)})\)})\ x^(nN + 1) $
Che altro posso fare adesso [sempre ammesso che non abbia sbagliato]?
Beh, un po' di fantasia! 
In realtà, quando ci sono di mezzo queste gamma, devi smanettare un po'.
Ad esempio usando ricorrentemente la formula di ricorrenza:
\[
\begin{split}
\Gamma \left( \frac{1}{2} +n\right) &=\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\ \Gamma \left( \frac{1}{2} +n-1\right) \\
&=\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\left( \frac{1}{2} +n-2\right)\ \Gamma \left( \frac{1}{2} +n-2\right)\\
&=\cdots \\
&=\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\left( \frac{1}{2} +n-2\right)\cdots \left( \frac{1}{2} +1\right)\ \Gamma \left( \frac{1}{2}+1\right)\\
&=\underbrace{\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\left( \frac{1}{2} +n-2\right)\cdots \left( \frac{1}{2} +1\right) \left( \frac{1}{2}\right)}_{n \text{ fattori}}\ \Gamma \left( \frac{1}{2}\right)\\
&= \frac{1}{2^n}\ (2n-1)!!\ \sqrt{\pi}\; .
\end{split}
\]
*** EDIT: Ho corretto un errore di calcolo.
In realtà, quando ci sono di mezzo queste gamma, devi smanettare un po'.
Ad esempio usando ricorrentemente la formula di ricorrenza:
\[
\begin{split}
\Gamma \left( \frac{1}{2} +n\right) &=\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\ \Gamma \left( \frac{1}{2} +n-1\right) \\
&=\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\left( \frac{1}{2} +n-2\right)\ \Gamma \left( \frac{1}{2} +n-2\right)\\
&=\cdots \\
&=\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\left( \frac{1}{2} +n-2\right)\cdots \left( \frac{1}{2} +1\right)\ \Gamma \left( \frac{1}{2}+1\right)\\
&=\underbrace{\left( \frac{1}{2} +n-1\right)\left( \frac{1}{2} +n-2\right)\cdots \left( \frac{1}{2} +1\right) \left( \frac{1}{2}\right)}_{n \text{ fattori}}\ \Gamma \left( \frac{1}{2}\right)\\
&= \frac{1}{2^n}\ (2n-1)!!\ \sqrt{\pi}\; .
\end{split}
\]
*** EDIT: Ho corretto un errore di calcolo.
"gugo82":
Beh, un po' di fantasia!
Bhe, dovrei essere bravo quanto te per riuscirci
Ci sono quasi, però a me viene
$ = ... = \sum_{n=0}^\infty (\frac{\frac{1}{N}(\frac{1}{2^n}\ (2n-1)!!\ \sqrt{\pi}\)}{\sqrt(\pi)(\frac{1 + nN}{N})})x^(nN + 1) = sum_{n=0}^\infty (\frac{(2n-1)!!}{2^n(nN + 1)})x^(nN + 1) $
Dove ho sbagliato?
Potresti gentilmente consiglirmi altri esercizi che richiedono tecniche simili a quelle usate in questa discussione?
Esercizi del genere non esistono più.
Forse potrai trovarne su qualche vecchio testo (e.g., Analisi Superiore di Tricomi o Funzioni Speciali di Gatteschi); ma ormai le funzioni speciali non vengono più usate come prima e, di conseguenza, non ci sono quasi più testi nuovi che le approfondiscano.
Però, a volte, capita ancora di averci a che fare.
Ad esempio, molte delle costanti migliori nelle immersioni di Sobolev si esprimono mediante la gamma (\(\Gamma (x)\)) o la beta (\(B(x,y)\)); quindi, le ho incrociate diverse volte nei miei studi e nel "tempo libero".
Anzi, mi è capitato anche di doverci "fare i conti" (ho combattuto con i simboli di Pochhammer e con la funzione ipergeometrica di Appell)... Ad esempio, nel mio articolo che dovrebbe apparire su ZAMP in questi mesi.
Inoltre, è anche capitato che ingegneri (qui sul forum) mi chiedessero di fare certi conti con le funzioni speciali, perchè esse vengono fuori costantemente nelle equazioni differenziali della Fisica Matematica applicate a problemi ingegneristici.
Insomma, non perderci molto tempo su queste cose. Dedicati a capire le basi, ossia le proprietà fondamentali che consentono di far di conto, ma poi lascia stare e studia Analisi "seria".
Forse potrai trovarne su qualche vecchio testo (e.g., Analisi Superiore di Tricomi o Funzioni Speciali di Gatteschi); ma ormai le funzioni speciali non vengono più usate come prima e, di conseguenza, non ci sono quasi più testi nuovi che le approfondiscano.
Però, a volte, capita ancora di averci a che fare.
Ad esempio, molte delle costanti migliori nelle immersioni di Sobolev si esprimono mediante la gamma (\(\Gamma (x)\)) o la beta (\(B(x,y)\)); quindi, le ho incrociate diverse volte nei miei studi e nel "tempo libero".
Anzi, mi è capitato anche di doverci "fare i conti" (ho combattuto con i simboli di Pochhammer e con la funzione ipergeometrica di Appell)... Ad esempio, nel mio articolo che dovrebbe apparire su ZAMP in questi mesi.
Inoltre, è anche capitato che ingegneri (qui sul forum) mi chiedessero di fare certi conti con le funzioni speciali, perchè esse vengono fuori costantemente nelle equazioni differenziali della Fisica Matematica applicate a problemi ingegneristici.
Insomma, non perderci molto tempo su queste cose. Dedicati a capire le basi, ossia le proprietà fondamentali che consentono di far di conto, ma poi lascia stare e studia Analisi "seria".
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