Primitive di $ 1/sqrt(1 \pm x^n)$ con $n \in \N$
Cercavo semplicemente qualche suggerimento per risolvere integrali nella forma
$\int 1/sqrt(1 \pm x^n)\,dx$ con $n \in \N$
$\int 1/sqrt(1 \pm x^n)\,dx$ con $n \in \N$
Risposte
"gugo82":
studia Analisi "seria".
Tu cosa intendi per Analisi "seria" ?
Posto un'altra domanda che mi è venuta in mente or ora: si può dire di aver "risolto per serie" l'integrale della presente discussione?
"magliocurioso":
Posto un'altra domanda che mi è venuta in mente or ora: si può dire di aver "risolto per serie" l'integrale della presente discussione?
Certo, si dice proprio così.
"gugo82":Ma allora perché si dice che alcune funzioni non sono integrabili, se poi si possono ugualmente calcolarne le primitive integrando per serie? È forse perché l'integrazione per serie non è elementare?
Certo, si dice proprio così.
Il concetto di non integrabilità è collegato al calcolo di un integrale definito, non alla determinazione delle primitive di una funzione. Attento all'uso che fai dei termini.
"ciampax":. Ma allora qual è la vera definizione di integrabilità? È sbagliato ritenere integrabile una funzione solo perché è continua? Poi magari non si sa come scrivere la primitiva però si è certi della sua esistenza e magari per esprimerla ci si inventa qualche funzione speciale.
Il concetto di non integrabilità è collegato al calcolo di un integrale definito, non alla determinazione delle primitive di una funzione. Attento all'uso che fai dei termini.
@maglio: Stai confondendo due nozioni diverse.
Una è la "integrabilità", l'altra la "integrabilità in senso elementare".
Una funzione \(f:I\to \mathbb{R}\) si dice integrabile in un intervallo \(I\) se esiste l'integrale definito \(\int_I f\) (qualsiasi sia la definizione di integrale definito che dai, e.g. integrale di Riemann, di Lebesgue, di Stieltjes, etc...).
Una funzione \(f:I\to \mathbb{R}\), invece, è detta elementarmente integrabile se è possibile determinarne una primitiva \(F:I\to \mathbb{R}\) usando le funzioni elementari.
Sono due nozioni profondamente diverse: infatti la seconda si fonda sulla possibilità di poter effettuare un calcolo algoritmico; mentre la prima si fonda sulla possibilità di provare l'esistenza di un determinato numero reale, i.e. \(\int_I f\), che soddisfa certi requisiti.
Tuttavia, nel caso in cui consideri l'integrale di Riemann, esse sono legate dalla Formula Fondamentale del Calcolo Integrale: infatti tale formula ti consente di dire che, se una funzione continua è elementarmente integrabile su un compatto \(I=[a,b]\), allora l'integrale di Riemann \(\int_a^b f(x)\ \text{d} x\) si esprime come la differenza \(F(b)-F(a)\).
Una è la "integrabilità", l'altra la "integrabilità in senso elementare".
Una funzione \(f:I\to \mathbb{R}\) si dice integrabile in un intervallo \(I\) se esiste l'integrale definito \(\int_I f\) (qualsiasi sia la definizione di integrale definito che dai, e.g. integrale di Riemann, di Lebesgue, di Stieltjes, etc...).
Una funzione \(f:I\to \mathbb{R}\), invece, è detta elementarmente integrabile se è possibile determinarne una primitiva \(F:I\to \mathbb{R}\) usando le funzioni elementari.
Sono due nozioni profondamente diverse: infatti la seconda si fonda sulla possibilità di poter effettuare un calcolo algoritmico; mentre la prima si fonda sulla possibilità di provare l'esistenza di un determinato numero reale, i.e. \(\int_I f\), che soddisfa certi requisiti.
Tuttavia, nel caso in cui consideri l'integrale di Riemann, esse sono legate dalla Formula Fondamentale del Calcolo Integrale: infatti tale formula ti consente di dire che, se una funzione continua è elementarmente integrabile su un compatto \(I=[a,b]\), allora l'integrale di Riemann \(\int_a^b f(x)\ \text{d} x\) si esprime come la differenza \(F(b)-F(a)\).
[OT]
ah gugo, mi hai acceso una lampadina
mi hai fatto collegare un fatto di analisi con uno di scienze informatiche a cui non avevo mai pensato. Infatti tale questione che hai scritto (googlando è vero) è legata alla teoria della calcolabilità (che sto studiando in questo periodo...). tank
[/OT]
"gugo82":
Sono due nozioni profondamente diverse: infatti la seconda si fonda sulla possibilità di poter effettuare un calcolo algoritmico;
ah gugo, mi hai acceso una lampadina
mi hai fatto collegare un fatto di analisi con uno di scienze informatiche a cui non avevo mai pensato. Infatti tale questione che hai scritto (googlando è vero) è legata alla teoria della calcolabilità (che sto studiando in questo periodo...). tank
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@ gugo
Ti ringrazio profondamente per i tuoi chiarimenti, ma ho ancora una domanda: l'integrazione per serie è una "tecnica di integrazione elementare", per quanto poco banale ed elementare possa poi essere nella pratica?
Ti ringrazio profondamente per i tuoi chiarimenti, ma ho ancora una domanda: l'integrazione per serie è una "tecnica di integrazione elementare", per quanto poco banale ed elementare possa poi essere nella pratica?
"magliocurioso":
l'integrazione per serie è una "tecnica di integrazione elementare", per quanto poco banale ed elementare possa poi essere nella pratica?
No.
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