Primitiva, esercizio svolto
Salve a tutti, non capisco un passaggio di un esercizio svolto:
$\int sin(x)/(cos^2(x)+2cos(x)-3)dx$
" Si consideri la sostituzione $y=cos(x)$, da cui $[cos(x)] '=-sin(x)$"
Poi facendo riferimento alla formula di integrazione per sostituzione, ovvero:
Se $F$ è una primitiva di $f$ su $I$ e $\phi : J->I$ è continua e derivabile su $J$, allora $f(\phi(t))\phi '(t)$ è integrabile su $J$ e vale:
$\int f(\phi(t))\phi '(t)dt=F(\phi(t))+c$ con $c in RR$
Da qui si ottiene banalmente(?) che le primitive da determinare sono:
$\int (-1)/(y^2+2y-3) dy$ e da qui me la saprei sbrigare da solo.. Il problema è capire come ci è arrivato tramite quella sostituzione
$\int sin(x)/(cos^2(x)+2cos(x)-3)dx$
" Si consideri la sostituzione $y=cos(x)$, da cui $[cos(x)] '=-sin(x)$"
Poi facendo riferimento alla formula di integrazione per sostituzione, ovvero:
Se $F$ è una primitiva di $f$ su $I$ e $\phi : J->I$ è continua e derivabile su $J$, allora $f(\phi(t))\phi '(t)$ è integrabile su $J$ e vale:
$\int f(\phi(t))\phi '(t)dt=F(\phi(t))+c$ con $c in RR$
Da qui si ottiene banalmente(?) che le primitive da determinare sono:
$\int (-1)/(y^2+2y-3) dy$ e da qui me la saprei sbrigare da solo.. Il problema è capire come ci è arrivato tramite quella sostituzione
Risposte
In che senso "come ci è arrivato"?
Quando formalmente vai a sostituire il differenziale $dy = - sin(x) dx$ nell'espressione sotto il segno di integrale, visto che compare proprio $sin(x) dx$, ottieni quanto hai scritto sopra.
Quando formalmente vai a sostituire il differenziale $dy = - sin(x) dx$ nell'espressione sotto il segno di integrale, visto che compare proprio $sin(x) dx$, ottieni quanto hai scritto sopra.
Grazie 
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