Polinomio di taylor di sin(sinx)
Come ho indicato nel titolo qualcuno mi saprebbe spiegare come si calcola il polinomio di taylor fino al 3 grado della funzione $sin(sinx)$ ? grazie!
Risposte
In generale il polinomio di Taylor di una funzione è calcolabile come:
$P=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+....+o(x^n)$
Dalla definizione dovresti essere agevolmente in grado di determinarla per la tua funzione.
ciao
$P=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+....+o(x^n)$
Dalla definizione dovresti essere agevolmente in grado di determinarla per la tua funzione.
ciao
se sai fare lo sviluppo di taylor fino al terzo grado (nel punto $x_0=0$) di $sin x$, sai fare anche lo sviluppo di $sin y$ con $y=sin x$ 
"MrMeaccia":
se sai fare lo sviluppo di taylor fino al terzo grado (nel punto $x_0=0$) di $sin x$, sai fare anche lo sviluppo di $sin y$ con $y=sin x$
mi potresti spiegare meglio come fare, perchè io non so calcolare il polinomio di taylor sostituendo la y ad una funzione! grazie
Al di là di varie sostituzioni, se sei in grado di svolgere la derivata di quella funzione poi basta che sostituisci nella formula che ti ho scritto....ma la domanda è: sai fare quella derivata?
applicando la formula che ti diceva ELWOOD alla funzione sin(sinx) nel punto $x_0=0$ ottieni lo sviluppo di taylor di sin(sinx) nel punto 0 :
$f(x)=sin(sinx); f(0)=0$
$f'(x)=cosx*cos(sinx) ; f'(0)*x^1/(1!) =x$
$f''(x)=-sinx cos(sinx)-cos^2xsin(sinx) ; f''(0)*x^2/(2!) =0*x^2 /(2!)=0$
$f'''(x)=-cosx cos(sinx)(1+cos^2x)+cos x sin(sinx)(3sinx) ; f'''(0)*x^3/(3!) =-2*x^3 /(3!)=-x^3 /3$
Perciò avresti che per $x->0$, lo sviluppo è $sin(sinx)= x-x^3/3 +o(x^3)$:
Io ho fatto in un altro modo:
per $x->0$ hai che $sin y= y-y^3/(3!) +o(y^3)$ con $y=sinx$ .. hai fatto una piccola sostituzione di comodo..
allora basta che sosttuisci $y=sinx$ in $sin y= y-y^3/(3!) +o(y^3)$ e ottieni $sin( sinx)= sinx-sinx^3/(3!) +o(sin^3 x)$
e poi sviluppi nuovamente il seno per ottenere un polinomio di x
$sin( sinx)= sinx-sinx^3/(3!) +o(sin^3 x)=x-x^3/(3!)-(x-x^3/(3!))^3/(3!) +o((x-x^3/(3!))^3 )$
una volta che hai svolto i conti e hai inglobato i polinomi con grado maggiore di 3 dentro il resto, ottieni esattamente il risultato che ti ha suggerito ELWOOD!
$f(x)=sin(sinx); f(0)=0$
$f'(x)=cosx*cos(sinx) ; f'(0)*x^1/(1!) =x$
$f''(x)=-sinx cos(sinx)-cos^2xsin(sinx) ; f''(0)*x^2/(2!) =0*x^2 /(2!)=0$
$f'''(x)=-cosx cos(sinx)(1+cos^2x)+cos x sin(sinx)(3sinx) ; f'''(0)*x^3/(3!) =-2*x^3 /(3!)=-x^3 /3$
Perciò avresti che per $x->0$, lo sviluppo è $sin(sinx)= x-x^3/3 +o(x^3)$:
Io ho fatto in un altro modo:
per $x->0$ hai che $sin y= y-y^3/(3!) +o(y^3)$ con $y=sinx$ .. hai fatto una piccola sostituzione di comodo..
allora basta che sosttuisci $y=sinx$ in $sin y= y-y^3/(3!) +o(y^3)$ e ottieni $sin( sinx)= sinx-sinx^3/(3!) +o(sin^3 x)$
e poi sviluppi nuovamente il seno per ottenere un polinomio di x
$sin( sinx)= sinx-sinx^3/(3!) +o(sin^3 x)=x-x^3/(3!)-(x-x^3/(3!))^3/(3!) +o((x-x^3/(3!))^3 )$
una volta che hai svolto i conti e hai inglobato i polinomi con grado maggiore di 3 dentro il resto, ottieni esattamente il risultato che ti ha suggerito ELWOOD!
scusa elwood.. arrivo sempre tardi
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