Polinomio di Taylor di grado n per x =/= 0
Ciao a tutti/e,
ho un dubbio che mi è sorto svolgendo un esercizio sui polinomi di Taylor. Sono giunto alle mie conclusioni ma volevo il parere anche da parte di qualcuno di voi.
Ecco il testo:
"Scrivere il polinomio di Taylor di grado 2 centrato in $x=pi$ della funzione
$f(x)=log(3+cos(x/2))$"
Ora, ragionando d'istinto (lo so in matematica non si deve fare
), siccome il grado del polinomio richiesto è relativamente basso, ho proceduto a calcolare la derivata prima e seconda della funzione composta e infilarla nella formula del polinomio di Taylor centrato in $x=x_0$ di grado 2:
$P(x_0)=f(x_0)+(f'(x_0)(x+x_0))/(1!)+(f''(x_0)(x+x_0)^2)/(2!)$
che risulta per $x=pi$
$P(x_0=pi)=log(3)-(x-pi)/6-(x-pi)^2/72$
fin qui tutto bene (il grafico approssima bene la funzione nell'intorno del punto)
se non che mi è venuto il dubbio che si potesse ottenere lo stesso risultato anche con gli sviluppi di taylor, il risultato viene però molto diverso e non approssimato bene come svolgendo le derivate.
per la cronaca mi viene $f(x)=49/6-(5x^2)/8$
La domanda che mi sono posto è la seguente:
Se un esercizio richiede di scrivere il Polinomio di Taylor non centrato in $x=0$ conviene sempre sviluppare le derivate (per quante esse siano) e non ricorrere alle formule di Taylor?
Grazie per qualsiasi chiarimento!
ho un dubbio che mi è sorto svolgendo un esercizio sui polinomi di Taylor. Sono giunto alle mie conclusioni ma volevo il parere anche da parte di qualcuno di voi.
Ecco il testo:
"Scrivere il polinomio di Taylor di grado 2 centrato in $x=pi$ della funzione
$f(x)=log(3+cos(x/2))$"
Ora, ragionando d'istinto (lo so in matematica non si deve fare
), siccome il grado del polinomio richiesto è relativamente basso, ho proceduto a calcolare la derivata prima e seconda della funzione composta e infilarla nella formula del polinomio di Taylor centrato in $x=x_0$ di grado 2:$P(x_0)=f(x_0)+(f'(x_0)(x+x_0))/(1!)+(f''(x_0)(x+x_0)^2)/(2!)$
che risulta per $x=pi$
$P(x_0=pi)=log(3)-(x-pi)/6-(x-pi)^2/72$
fin qui tutto bene (il grafico approssima bene la funzione nell'intorno del punto)
se non che mi è venuto il dubbio che si potesse ottenere lo stesso risultato anche con gli sviluppi di taylor, il risultato viene però molto diverso e non approssimato bene come svolgendo le derivate.
per la cronaca mi viene $f(x)=49/6-(5x^2)/8$
La domanda che mi sono posto è la seguente:
Se un esercizio richiede di scrivere il Polinomio di Taylor non centrato in $x=0$ conviene sempre sviluppare le derivate (per quante esse siano) e non ricorrere alle formule di Taylor?
Grazie per qualsiasi chiarimento!
Risposte
Intanto:
Quindi, per $[x rarr \pi]$:
$f(x)=log[3+cos(x/2)]=log[3+sin(\pi/2-x/2)]=log[3-sin((x-\pi)/2)]$
Quindi, per $[x rarr \pi]$:
$f(x)=log[3-1/2(x-\pi)+o(x-\pi)^2]=log3+log[1-1/6(x-\pi)+o(x-\pi)^2]=$
$=log3-1/6(x-\pi)-1/72(x-\pi)^2+o(x-\pi)^2$
"j.a.c.k.":
Se un esercizio richiede di scrivere il Polinomio di Taylor non centrato in $x=0$ conviene sempre sviluppare le derivate (per quante esse siano) e non ricorrere alle formule di Taylor?
No, la funzione può essere molto brutta e non facile da derivare in quanto a calcoli, l'unica cosa è che se sviluppi via via le funzioni devi preoccuparti di svilupparle nello stesso punto in cui vuoi sviluppare la tua funzione, assolutamente non in $0$, perché gli sviluppi ti danno informazioni (più o meno precise) solamente in un intorno del punto in cui sviluppi.
Per curiosità, in che punto hai sviluppato per ottenere $49/6-5/8x^2$?
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