Polinomio di Taylor (2 variabili)
calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 intorno all'origine della funzione $ f(x,y)=sqrt((1+ysin(x)))-e^(x+y^2) $
prima considero la funzione $ sqrt((1+ysin(x))) $ e ottengo
$ fx=(ycos(x))/(2sqrt((1+ysin(x)))) $ in (0,0)= $ y/2 $
$ fy=(sin(x))/(2sqrt((1+ysin(x)))) $ in (0,0)= $ 0 $
$ fxy=(cos(x)2sqrt((1+ysin(x)))-ysin(x)cos(x))/(4+4ysin(x)) $ in (0,0)= $ 1/2 $
$ fx.x=(ysin(x)2sqrt((1+sin(x)))-y^2cos^2(x))/(4+4ysin(x)) $ in (0,0)= $ -y^2/4 $
$ fy.y=(cos(x)2sqrt((1+ysin(x)))-sin^2(x))/(4+4sin(x)) $ in (0,0)= $ 1/2 $
ora considero la funzione $ e^(x+y^2) $ e ottengo
$ fx=e^(x+y^2) $ in (0,0)=1
$ fy=2ye^(x+y^2) $ in (0,0)=0
$ fxy=2ye^(x+y^2) $ in (0,0)=0
$ fx.x=e^(x+y^2) $ in (0,0)=1
$ fy.y=4y^2e^(x+y^2) $ in (0,0)=0
quindi il mio polinomio è
$ P(f)=xy-1/4x^2y^2+1/2y^2-x-x^2 $
è giusto ?!?
prima considero la funzione $ sqrt((1+ysin(x))) $ e ottengo
$ fx=(ycos(x))/(2sqrt((1+ysin(x)))) $ in (0,0)= $ y/2 $
$ fy=(sin(x))/(2sqrt((1+ysin(x)))) $ in (0,0)= $ 0 $
$ fxy=(cos(x)2sqrt((1+ysin(x)))-ysin(x)cos(x))/(4+4ysin(x)) $ in (0,0)= $ 1/2 $
$ fx.x=(ysin(x)2sqrt((1+sin(x)))-y^2cos^2(x))/(4+4ysin(x)) $ in (0,0)= $ -y^2/4 $
$ fy.y=(cos(x)2sqrt((1+ysin(x)))-sin^2(x))/(4+4sin(x)) $ in (0,0)= $ 1/2 $
ora considero la funzione $ e^(x+y^2) $ e ottengo
$ fx=e^(x+y^2) $ in (0,0)=1
$ fy=2ye^(x+y^2) $ in (0,0)=0
$ fxy=2ye^(x+y^2) $ in (0,0)=0
$ fx.x=e^(x+y^2) $ in (0,0)=1
$ fy.y=4y^2e^(x+y^2) $ in (0,0)=0
quindi il mio polinomio è
$ P(f)=xy-1/4x^2y^2+1/2y^2-x-x^2 $
è giusto ?!?
Risposte
nessuno sà dirmi se è corretto ?
Hai sbagliato a calcolare i valori di alcune derivate nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]. Ad esempio [tex]$f_x(0,0)=0$[/tex]; ricontrolla i calcoli, se vuoi.
Infatti, te ne accorgi anche guardando il polinomio: non dovresti avere il monomio [tex]$x^2y^2$[/tex] che è di grado 4. E infatti, hai anche: [tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0$[/tex], quindi quel fattore è un [tex]$o(x^2+y^2)$[/tex].
Comunque, fai prima a sviluppare con Mac-Laurin che svolgendo tutte le derivate.
[tex]$e^{x+y^2}=1+x+y^2+\frac{(x+y^2)^2}{2} + o((x+y^2)^2)= 1+x+y^2+\frac{x^2}{2}+o(x^2+y^2)$[/tex].
Prova a svolgere [tex]$\sqrt{1+y \sin x}$[/tex] in modo analogo.
Se non ho sbagliato i conti, viene [tex]$f(x,y)=-x-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}xy-y^2+o(x^2+y^2)$[/tex].
Infatti, te ne accorgi anche guardando il polinomio: non dovresti avere il monomio [tex]$x^2y^2$[/tex] che è di grado 4. E infatti, hai anche: [tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0$[/tex], quindi quel fattore è un [tex]$o(x^2+y^2)$[/tex].
Comunque, fai prima a sviluppare con Mac-Laurin che svolgendo tutte le derivate.
[tex]$e^{x+y^2}=1+x+y^2+\frac{(x+y^2)^2}{2} + o((x+y^2)^2)= 1+x+y^2+\frac{x^2}{2}+o(x^2+y^2)$[/tex].
Prova a svolgere [tex]$\sqrt{1+y \sin x}$[/tex] in modo analogo.
Se non ho sbagliato i conti, viene [tex]$f(x,y)=-x-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}xy-y^2+o(x^2+y^2)$[/tex].
hai perfettamente ragione...ricontrollando i valori di tutte le derivate in (0,0) e correggendoli...mi verrebbe
$ P(f)=1/2xy+1/2y^2-x-x^2+o(x^2+y^2) $
quando dici di usare McLaurin invece che fare le derivate...intendi usare gli sviluppi notevoli in una variabile effettuando una sostituzione ?
$ P(f)=1/2xy+1/2y^2-x-x^2+o(x^2+y^2) $
quando dici di usare McLaurin invece che fare le derivate...intendi usare gli sviluppi notevoli in una variabile effettuando una sostituzione ?
Sì, esattamente, nell'esempio che ho fatto, ho posto [tex]$t=x+y^2$[/tex] e ho sviluppato [tex]$e^t$[/tex].
con questo metodo avevo provato ma avevo trovato risultati diversi (forse ho sbagliato io alcuni calcoli) però ad esempio...se prendiamo la funzione
$ f(x,y)=e^(x+y^2) $ e vogliamo calcolare il polinomio di Taylor intorno all'origine di ordine 2
con il metodo delle derivate ottengo
$ fx(0,0)=e^(x+y^2)=1 $
$ fy(0,0)=2ye^(x+y^2)=0 $
$ fx.x(0,0)=e^(x+y^2)=1 $
$ fy.y(0,0)=2e^(x+y^2)+4y^2e^(x+y^2)=2 $
$ fx.y(0,0)=2ye^(x+y^2)=0 $
e usando la formula di Taylor in due variabili con (a,b)=(0,0)
$ f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+fxy(a,b)(x-a)(y-b)+fx.x(a,b)(x-a)^2+fy.y(a,b)(y-b)^2 $
ottengo
$ f(x,y)=1+x+x^2+2y^2 $
$ e^t=1+t+t^2/(2!) $ con $ t=x+y^2 $ ottengo
$ f(x,y)=1+x+y^2+((x+y^2)^2)/(2!)=1+x+y^2+(1/2)x^2 $
ti torna il mio ragionamento ?
$ f(x,y)=e^(x+y^2) $ e vogliamo calcolare il polinomio di Taylor intorno all'origine di ordine 2
con il metodo delle derivate ottengo
$ fx(0,0)=e^(x+y^2)=1 $
$ fy(0,0)=2ye^(x+y^2)=0 $
$ fx.x(0,0)=e^(x+y^2)=1 $
$ fy.y(0,0)=2e^(x+y^2)+4y^2e^(x+y^2)=2 $
$ fx.y(0,0)=2ye^(x+y^2)=0 $
e usando la formula di Taylor in due variabili con (a,b)=(0,0)
$ f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+fxy(a,b)(x-a)(y-b)+fx.x(a,b)(x-a)^2+fy.y(a,b)(y-b)^2 $
ottengo
$ f(x,y)=1+x+x^2+2y^2 $
$ e^t=1+t+t^2/(2!) $ con $ t=x+y^2 $ ottengo
$ f(x,y)=1+x+y^2+((x+y^2)^2)/(2!)=1+x+y^2+(1/2)x^2 $
ti torna il mio ragionamento ?
l'unica cosa che ho notato è che il rapporto tra le variabili di 2° grado del polinomio è di y=2x in entrambi i casi...non so se è un caso o se è la dimostrazione che sono equivalenti...ma scritti solo diversamente...
E' perché ti dimentichi di dividere per $2!$ i termini in cui compaiono le derivate seconde. Riguarda la formula di Taylor.
no ho diviso per 2!...è proprio per quello che mi differisce...nella formula di Taylor a due variabili non c'è la divisone per 2!...
credo sia sbagliata la fonte di dove ho trovato la formula di Taylor a due variabili...ora l'ho trovata scritta diversa...
credo sia sbagliata la fonte di dove ho trovato la formula di Taylor a due variabili...ora l'ho trovata scritta diversa...
questa è quella che usavo che avevo trovato su un libro...ma evidentemente era sbagliata
$ f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+fxy(a,b)(x-a)(y-b)+fx.x(a,b)(x-a)^2+fy.y(a,b)(y-b)^2 $
e quella giusta era questa...allora il risultato torna...
$ f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+fxy(a,b)(x-a)(y-b)+(1/2!)fx.x(a,b)(x-a)^2+(1/2!)fy.y(a,b)(y-b)^2 $
$ f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+fxy(a,b)(x-a)(y-b)+fx.x(a,b)(x-a)^2+fy.y(a,b)(y-b)^2 $
e quella giusta era questa...allora il risultato torna...
$ f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+fxy(a,b)(x-a)(y-b)+(1/2!)fx.x(a,b)(x-a)^2+(1/2!)fy.y(a,b)(y-b)^2 $
Crisso ma te fai ingegneria a firenze con il franchetti?? Io avevo lo stesso esercizio a giugno e non mi torna un cavolo.. Mi ha scritto il risultato ma non sono cane di farlo tornare uguale
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