Poligono perimetro finito area divergente

[caffeinaplus]

Salve a tutti, non so se è la sezione corretta, in caso contrario me ne scuso.Come da titolo, mi stavo domandando

Supponiamo di trovarci in $RR^n$ con $n->+oo$.Supponiamo di avere 3 vettori che, perdonatemi ma non so come spiegarmi, formino un triangolo.Adesso supponiamo che questi vettori siano della forma $v=(1/x_1,1/x_2,.....1/x_n)$

La loro norma sarà una cosa del tipo $||v||=sqrt(sum_(i=1) 1/x_i)$

Quindi il perimetro $p=3sum_(i=1)||v||$

Esiste un modo per dimostrare che diverge?Esiste qualche caso in cui converge?

[gugo82]

Non ti sei spiegato. Ad esempio, che significa "in $RR^n$ con $n->+oo$"?

Riprova, con maggiore precisione di linguaggio (che aiuta a definire meglio il problema ed a risolverlo velocemente).

[caffeinaplus]

Mi scuso ma dal cellulare ho scritto una infinità di imprecisioni.Comunque tutta la domanda si poteva riassumere in "si può costruire una figura di perimetro infinito e area finita?"

[pilloeffe]

Ciao caffeinaplus,

"caffeinaplus":"si può costruire una figura di perimetro infinito e area finita?"

In realtà è un po' il contrario di quello che hai scritto nel titolo dell'OP, ma non è che per caso stai pensando al fiocco di neve di Koch? https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

[caffeinaplus]

Si quello va benissimo, solo che non ero a conoscenza della sua esistenza.Grazie mille

[gugo82]

"caffeinaplus":Mi scuso ma dal cellulare ho scritto una infinità di imprecisioni.Comunque tutta la domanda si poteva riassumere in "si può costruire una figura di perimetro infinito e area finita?"

Beh, sì questo si può fare sempre, in ogni $RR^N$, con una costruzione semplice semplice (senza ricorrere a frattali tipo la curva di Koch).

Ad esempio, in $RR^2$ considera l'insieme di punti delimitato dai grafici di $f_(+-)(x):=+- 1/x^2$ e dalla retta $x=1$, cioè:
\[
\Omega :=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\geq 1\text{ e } -1/x^2 \leq y\leq 1/x^2\}\; .
\]
Per noti fatti, hai:
\[
\begin{split}
\operatorname{area} \Omega &= 2 \int_1^{+\infty} 1/x^2\ \text{d} x \\
&= 2 < +\infty \\
\operatorname{per} \Omega &= 2 + 2 \int_1^{+\infty} \sqrt{1 + \frac{4}{x^6}}\ \text{d}x \\
&= +\infty\; ,
\end{split}
\]
quindi ok.

Curiosamente, il viceversa è proibito (fintantoché consideri insiemi "decenti"); in altri termini, non si possono costruire insiemi "decenti" aventi perimetro finito ed area infinita.
Ciò è un'immediata conseguenza della disuguaglianza isoperimetrica, che nel caso $N=2$ si scrive:
\[
\operatorname{area}\Omega \leq \frac{1}{4\pi}\ \operatorname{per}^2\Omega \; .
\]