Più ampio intervallo di validità sviluppo in Serie
Quando sviluppo in serie di MacLaurin in alcuni esercizi mi è chiesto anche di specificare il più ampio intervallo di validità qualcuno può spiegarmi come grazie.
Risposte
Non sono tanto ferrato. Che tu debba calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze? wiki
Qualcuno che ne sà di più...?
Prova a postare la traccia completa di un esercizio in cui compare una domanda del genere, perchè così come hai posto la domanda secondo me è troppo generica...
In generale, se hai una serie di potenze centrata in \(x_0\), una volta calcolato il raggio di convergenza \(\rho\in [0,+\infty]\) sai quasi tutto.
In particolare:
1) se \(\rho = 0\), la serie converge solo in \(x_0\);
2) se \(\rho = +\infty\), la serie converge su tutto \(\mathbb{R}\);
3) se \(\rho\in (0, +\infty)\), allora la serie converge in un intervallo \(I\) tale che \((x_0-\rho, x_0+\rho)\subseteq I \subseteq [x_0-\rho, x_0+\rho]\).
In altri termini, conoscendo il solo raggio di convergenza non hai informazioni complete riguardo alla convergenza puntuale solo nel caso 3, per il quale è necessario studiare a parte la convergenza della serie in \(x_0\pm\rho\).
(Naturalmente tutto questo lo trovi scritto in qualsiasi libro subito dopo la definizione di raggio di convergenza.)
In particolare:
1) se \(\rho = 0\), la serie converge solo in \(x_0\);
2) se \(\rho = +\infty\), la serie converge su tutto \(\mathbb{R}\);
3) se \(\rho\in (0, +\infty)\), allora la serie converge in un intervallo \(I\) tale che \((x_0-\rho, x_0+\rho)\subseteq I \subseteq [x_0-\rho, x_0+\rho]\).
In altri termini, conoscendo il solo raggio di convergenza non hai informazioni complete riguardo alla convergenza puntuale solo nel caso 3, per il quale è necessario studiare a parte la convergenza della serie in \(x_0\pm\rho\).
(Naturalmente tutto questo lo trovi scritto in qualsiasi libro subito dopo la definizione di raggio di convergenza.)
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