Piccolo chiarimento Dimostrazione Th. degli Zeri

[Sk_Anonymous]

Salve, sto studiando la dimostrazione del Teorema degli Zeri e l'ho capita. ma c'è un passaggio che non mi è chiaro:

dopo aver costruito la successione $[a_k,b_k]$ dice:

Dato che $b_k-a_k=(b-a)/2^k$, si ha

$|a_k-x_0|<=(b-a)/2^k$

$|b_k-x_0|<=(b-a)/2^k$

Quindi entrambe le successioni convergono a $x_0$

Capisco che convergono ma non capisco da dove deriva la prima uguaglianza e come implica la parte successiva,
Spero in un chiarimento, grazie.

[Sk_Anonymous]

Non sono sicuro di ricordare bene, ma credo che se \(x_0\) è interno all'intervallo \([a_k,b_k]\), se \(b_k-a_k\) è la lunghezza di tale intervallo, allora \(|a_k-x_0|\) e quell'altro sono la lunghezza dei due intervalli in cui spezzi quello di partenza, per cui è naturale che siano di lunghezza minore di quello intero (cioè che valgano quelle due disuguaglianze). Se la lunghezza dell'intero segmento tende a \(0\), direi che è abbastanza naturale che ogni segmento di lunghezza minore abbia lunghezza tendente a \(0\) (di meno non può essere, dunque è una cosa del tipo \(0< l Scusami tanto la non formalità.
Non so, forse ho detto una bischerata, la mia prof di Analisi 1 fece questa dimostrazione in maniera diversa (e per di più la odiavo, la ricordo poco ).

[Sk_Anonymous]

"giuliofis":Non sono sicuro di ricordare bene, ma credo che se \(x_0\) è interno all'intervallo \([a_k,b_k]\), se \(b_k-a_k\) è la lunghezza di tale intervallo, allora \(|a_k-x_0|\) e quell'altro sono la lunghezza dei due intervalli in cui spezzi quello di partenza, per cui è naturale che siano di lunghezza minore di quello intero (cioè che valgano quelle due disuguaglianze). ...

grazie per averci provato, mi è stato d'aiuto.

quindi credo che $(b-a)/2^k$ sia il punto medio della distanza $b_k-a_k$
(non mi convince il $2^k$, forse deriva dal fatto che sono intervalli incapsulati)

credo di aver capito

[Sk_Anonymous]

"12Aquila":[quote="giuliofis"]Non sono sicuro di ricordare bene, ma credo che se \(x_0\) è interno all'intervallo \([a_k,b_k]\), se \(b_k-a_k\) è la lunghezza di tale intervallo, allora \(|a_k-x_0|\) e quell'altro sono la lunghezza dei due intervalli in cui spezzi quello di partenza, per cui è naturale che siano di lunghezza minore di quello intero (cioè che valgano quelle due disuguaglianze). ...

grazie per averci provato, mi è stato d'aiuto.

quindi credo che $(b-a)/2^k$ sia il punto medio della distanza $b_k-a_k$
(non mi convince il $2^k$, forse deriva dal fatto che sono intervalli incapsulati)

credo di aver capito [/quote]
Sì, a furia di cercare "punti medi" al denominatore ti vengono potenze di 2.

[Sk_Anonymous]

"giuliofis":Sì, a furia di cercare "punti medi" al denominatore ti vengono potenze di 2.

ottimo, grazie