Periodo dell'esponenziale complesso
Ciao a tutti!
Come sapete l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo $2 \pi j$.
Ma questo è vero per qualsiasi esponenziale complesso?
ad esempio il periodo di
$ y(x) = 2e^{7 jx} $
è sempre $2 \pi j$? oppure c'è un concetto similare a quello di pulsazione delle funzioni goniometriche che mi permette di calcolare il periodo di una particolare funzione esponenziale?
Grazie
Come sapete l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo $2 \pi j$.
Ma questo è vero per qualsiasi esponenziale complesso?
ad esempio il periodo di
$ y(x) = 2e^{7 jx} $
è sempre $2 \pi j$? oppure c'è un concetto similare a quello di pulsazione delle funzioni goniometriche che mi permette di calcolare il periodo di una particolare funzione esponenziale?
Grazie
Risposte
Nel caso di [tex]$e^{7\jmath\ x}$[/tex] (ove [tex]$x$[/tex] credo sia reale) puoi verificare facilmente con le formule di Eulero che il periodo è [tex]$\tfrac{2\pi}{7}$[/tex].
In generale, pensa a com'è definito un esponenziale del tipo [tex]$a^z$[/tex] quando [tex]$a\in \mathbb{C}$[/tex].
In generale, pensa a com'è definito un esponenziale del tipo [tex]$a^z$[/tex] quando [tex]$a\in \mathbb{C}$[/tex].
grazie 
e se per caso ho una somma di esponenziali il periodo della somma come lo calcolo?
e se per caso ho una somma di esponenziali il periodo della somma come lo calcolo?
Proprio come calcoli il periodo di una somma di sinusoidi.
Ricorda, l'esponenziale complesso non è altro che un modo elegante per mascherare seno e coseno.
Ricorda, l'esponenziale complesso non è altro che un modo elegante per mascherare seno e coseno.
mmm...penso di aver afferrato il concetto...quindi per esempio:
$y(t) = 3 e^{3jt}+5 e^{7jt}$
i due esponenziali avranno periodi:
$T_1 = \frac{2} {3} \pi$
$T_2 = \frac{2} {7} \pi$
inoltre la funzione, usando le relazioni di Eulero, equivale a :
$y(t) = 3 cos(3t) + 5 cos(7t) + i(3sin(3t)+5sin(7t))$
questo è periodico se:
$y(t) = y(t+T)$
cioè se:
$3 cos(3t) + 5 cos(7t) + i(3sin(3t)+5sin(7t)) = 3 cos(3(t+T)) + 5 cos(7(t+T)) + i(3sin(3(t+T))+5sin(7(t+T)))$
le uniche soluzioni si hanno equagliando gli argomenti:
$3t + 2 \pi n = 3t + 3T \Leftrightarrow T = \frac {2} {3} \pi n$
$7t + 2 \pi m = 7t + 7T \Leftrightarrow T = \frac {2} {7} \pi m$
bene...e ora?
$y(t) = 3 e^{3jt}+5 e^{7jt}$
i due esponenziali avranno periodi:
$T_1 = \frac{2} {3} \pi$
$T_2 = \frac{2} {7} \pi$
inoltre la funzione, usando le relazioni di Eulero, equivale a :
$y(t) = 3 cos(3t) + 5 cos(7t) + i(3sin(3t)+5sin(7t))$
questo è periodico se:
$y(t) = y(t+T)$
cioè se:
$3 cos(3t) + 5 cos(7t) + i(3sin(3t)+5sin(7t)) = 3 cos(3(t+T)) + 5 cos(7(t+T)) + i(3sin(3(t+T))+5sin(7(t+T)))$
le uniche soluzioni si hanno equagliando gli argomenti:
$3t + 2 \pi n = 3t + 3T \Leftrightarrow T = \frac {2} {3} \pi n$
$7t + 2 \pi m = 7t + 7T \Leftrightarrow T = \frac {2} {7} \pi m$
bene...e ora?
Per determinare il periodo di quella funzione occorre e basta determinare il periodo di una delle due funzioni [tex]$3\cos 3t +5\cos 7t$[/tex] o [tex]$3\sin 3t +5\sin 7t$[/tex].
sì, questo mi è chiaro, dato che le due parti della funzione iniziale hanno entrambe le stesse pulsazioni (3 e 7). ma ora non sono sicuro sul procedimento da adottare per ricavare il periodo della somma...
scusate se mi intrometto, magari dicendo una cavolata, ma il periodo della somma di 2 funzioni periodiche non è il minimo comune multiplo dei 2 periodi ? o almeno così mi è stato sempre insegnato..
"stefano_89":
scusate se mi intrometto, magari dicendo una cavolata, ma il periodo della somma di 2 funzioni periodiche non è il minimo comune multiplo dei 2 periodi ? o almeno così mi è stato sempre insegnato..
Se il periodo è un multiplo intero di [tex]$\pi$[/tex] allora ok.
Ad esempio se hai due funzioni con periodi [tex]$T_1=3\pi$[/tex] e [tex]$T_2=5\pi$[/tex] allora la somma è periodica di periodo [tex]$T=15\pi$[/tex] (con [tex]$15$[/tex] mcm di [tex]$3$[/tex] e [tex]$5$[/tex]).
Però questa regola non funziona più quando hai multipli razionali di [tex]$\pi$[/tex]... Anzi, detta meglio, il problema è che il minimo comune multiplo standard di due numeri razionali è sempre [tex]$1$[/tex].
Allora si deve definire il mcm in altro modo; in particolare si definisce il "mcm intero" di due numeri razionali [tex]$\alpha, \beta$[/tex] come il più piccolo razionale positivo che è multiplo intero di [tex]$\alpha, \beta$[/tex], ossia il [tex]$\min \{ p\in \mathbb{Q}:\ p>0,\ p\in \{n\alpha \}_{n\in \mathbb{Z}} \cup \{m\beta \}_{m\in \mathbb{Z}} \}$[/tex].
Quindi la domanda è: qual è il mcm intero di [tex]$\frac{2}{3}$[/tex] e [tex]$\frac{2}{7}$[/tex]?
Beh, visto che:
[tex]$\frac{2}{3}\ 1=\frac{2}{3},\ \frac{2}{3}\ 2=\frac{4}{3},\ \frac{2}{3}\ 3=2,\ \frac{2}{3}\ 4=\frac{8}{3},\ \frac{2}{3}\ 5=\frac{10}{3},\ \frac{2}{3}\ 6=4,\ \frac{2}{3}\ 7=\frac{14}{7} ,\ \ldots $[/tex]
[tex]$\frac{2}{7}\ 1=\frac{2}{7},\ \frac{2}{7}\ 2=\frac{4}{7},\ \frac{2}{7}\ 3=\frac{6}{7},\ \frac{2}{7}\ 4=\frac{8}{7},\ \frac{2}{7}\ 5=\frac{10}{7},\ \frac{2}{7}\ 6=\frac{12}{7},\ \frac{2}{7}\ 7=2 \ldots $[/tex]
il mcm intero di di [tex]$\frac{2}{3}$[/tex] e [tex]$\frac{2}{7}$[/tex] è [tex]$2$[/tex].
Pertanto il periodo della funzione [tex]$3\cos 3t+5\cos 7t$[/tex] dovrebbe essere [tex]$2\pi$[/tex]... La dimostrazione di questo fatto la lascio a voi.
Tuttavia faccio notare che questa regola del mcm intero vale solo se le funzioni con cui avete a che fare sono continue in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], altrimenti nisba.
questa non la sapevo..
Il segnale periodico complesso è dato dall'espressione $ e^(jomega t)=cos(omega t)+jsen(omega t) $
Il periodo di tale segnale è : $ omega To=2pi rArr To=(2pi )/omega $
Se invece ho la funzione $ e^((j2pift)/3) $ quanto vale il periodo.
Utilizzando la formula indicata prima scrivo : $ To=(2pi)/omega=(2pi)/((2pif)/3)=3/f $
Io svolgendo i calcoli trovo questa soluzione, invece il testo da cui sto facendo esercizi mi da come risposta $ (2f)/3 $ mi sapreste dire se è un errore mio di calcolo oppure uno di stampa del libro.
Il periodo di tale segnale è : $ omega To=2pi rArr To=(2pi )/omega $
Se invece ho la funzione $ e^((j2pift)/3) $ quanto vale il periodo.
Utilizzando la formula indicata prima scrivo : $ To=(2pi)/omega=(2pi)/((2pif)/3)=3/f $
Io svolgendo i calcoli trovo questa soluzione, invece il testo da cui sto facendo esercizi mi da come risposta $ (2f)/3 $ mi sapreste dire se è un errore mio di calcolo oppure uno di stampa del libro.
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