Periodicità di funzione composta

[matdemarchi]

Ciao a tutti,
come posso dimostrare che la funzione
$sen(root(3)(x))$
non è periodica?

[gugo82]

Usando la definizione?

[matdemarchi]

In che modo? Mi potresti gentilmente dare un indizio?

[gugo82]

Qual è la definizione di funzione periodica?

[matdemarchi]

$f(x + T) = f(x)$ $AA x in RR$

$sen(root(3)(x + T))=sen(root(3)(x))$
Quindi:

[gugo82]

Quindi cerca di stabilire, risolvendo l’equazione, se esiste un tale $T$ in modo che $sin root(3)( x+T) = sin root(3)(x)$.

[matdemarchi]

$sen(root(3)(x + T))=sen(root(3)(x))$
$root(3)(x + T)=root(3)(x) + 2k\pi$
$x + T=x + 6root(3)(x^2)k\pi + 12root(3)(x)k^2\pi^2 + 8k^3\pi^3$
Le $x$ si annullano...
$T=2k\pi(3root(3)(x^2) + 6root(3)(x)k\pi + 4k^2\pi^2)$
Da qui non saprei più andare avanti...

[matdemarchi]

Up

[gugo82]

Il periodo può dipendere dalla variabile $x$?

Ma poi, non è vero che l’equazione $sin x = sin y$ è soddisfatta solo da $x = y + 2 k pi$…

[matdemarchi]

Ottimo, grazie...posso semplicemente scrivere così? Ovvero che il periodo non può deipendere dalla variabile x?