Perdita supp compatto della trasformata+ domande
Ciao!
mi interessava capire, come si può dimostrare, che una funzione in questo caso solo a supporto compatto, abbia trasformata di fourier non più a supporto compatto. Ho trovato che dissonance ha già accennato in un post la questione
(https://www.matematicamente.it/forum/tra ... rasformata)
ma non fatto un vero corso di analisi complessa e non sto cercando di capire.
Correggetemi se sbaglio, si deve dimostrare che la trasformata è sia analitica complessa ivi olomorfa su un aperto in $CC$(ovvero lisce sull'aperto)
e che dissonace afferma questo:
$lim_{h \to 0} int phi(x) frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx=\int phi(x)lim_{h \to 0}frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx$
dove $h \in CC$.
perchè condizione sufficiente per essere olomorfa su un aperto?
il passaggio sotto della derivata sotto il segno d'integrale che condizioni necessità?
sarebbe la continuità dell'operatore derivata complessa rispetto all'integrazione di Lebesgue?
Mi dispiace avrò detto un sacco di fesserie, ma mi piacerebbe risolvere la cosa, vi ringrazio ciao.
mi interessava capire, come si può dimostrare, che una funzione in questo caso solo a supporto compatto, abbia trasformata di fourier non più a supporto compatto. Ho trovato che dissonance ha già accennato in un post la questione
(https://www.matematicamente.it/forum/tra ... rasformata)
ma non fatto un vero corso di analisi complessa e non sto cercando di capire.
Correggetemi se sbaglio, si deve dimostrare che la trasformata è sia analitica complessa ivi olomorfa su un aperto in $CC$(ovvero lisce sull'aperto)
e che dissonace afferma questo:
$lim_{h \to 0} int phi(x) frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx=\int phi(x)lim_{h \to 0}frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx$
dove $h \in CC$.
perchè condizione sufficiente per essere olomorfa su un aperto?
il passaggio sotto della derivata sotto il segno d'integrale che condizioni necessità?
sarebbe la continuità dell'operatore derivata complessa rispetto all'integrazione di Lebesgue?
Mi dispiace avrò detto un sacco di fesserie, ma mi piacerebbe risolvere la cosa, vi ringrazio ciao.
Risposte
"non ho fatto un corso di analisi complessa e sto cercando di capire"
o forse meglio la continuità della trasformata di fourier rispetto alla derivata, rimango dubbioso ancora..
"bradipo90":Sia $f \in C_c^{infty}(RR)$. Si deve dimostrare che $hat{f}$ è olomorfa su tutto $CC$ (come puoi parlare di trasformazione di Fourier su aperti propri?). Questo significa che occorre dimostrare l'esistenza di questo limite:
Correggetemi se sbaglio, si deve dimostrare che la trasformata è sia analitica complessa ivi olomorfa su un aperto in $CC$(ovvero lisce sull'aperto)
$lim_{h \to 0, h \in CC} \frac{\hat{f}(z+h)-\hat{f}(z)}{h}$
per ogni $z \in CC$.
La trasformata di Fourier di una funzione [tex]$C_c^\infty$[/tex] è olomorfa e non identicamente nulla; le funzioni olomorfe non identicamente nulle non hanno supporto compatto, ergo...
Detto in maniera barbara, il ragionamento è più o meno questo.
Una funzione olomorfa non identicamente nulla [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] ([tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] aperto non vuoto) non ha supporto compatto per il principio d'identità delle funzioni analitiche (vedi qui): infatti se [tex]$\text{supp} f$[/tex] fosse compatto in [tex]$\Omega$[/tex], l'insieme [tex]$\Omega \setminus \text{supp} f$[/tex] (che è l'interno dell'insieme in cui [tex]$f$[/tex] è nulla) sarebbe non vuoto dunque [tex]$f$[/tex] coinciderebbe con la funzione nulla identicamente in un cerchietto (anche piccolissimo); ciò implicherebbe [tex]$f(z)=0$[/tex] identicamente in [tex]$\Omega$[/tex] (per il summenzionato principio), il che è assurdo.
Detto in maniera barbara, il ragionamento è più o meno questo.
Una funzione olomorfa non identicamente nulla [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] ([tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] aperto non vuoto) non ha supporto compatto per il principio d'identità delle funzioni analitiche (vedi qui): infatti se [tex]$\text{supp} f$[/tex] fosse compatto in [tex]$\Omega$[/tex], l'insieme [tex]$\Omega \setminus \text{supp} f$[/tex] (che è l'interno dell'insieme in cui [tex]$f$[/tex] è nulla) sarebbe non vuoto dunque [tex]$f$[/tex] coinciderebbe con la funzione nulla identicamente in un cerchietto (anche piccolissimo); ciò implicherebbe [tex]$f(z)=0$[/tex] identicamente in [tex]$\Omega$[/tex] (per il summenzionato principio), il che è assurdo.
Ciao, riaptro il post, ero curioso di sapere se esiste effettivamente, oltre alla bella dimostrazione che mi hanno proposto,
una senza usare l'analisi complessa, probabilmente collegata al legame che c'è fra la funzione caratteristica e il seno cardinale sinc.
una senza usare l'analisi complessa, probabilmente collegata al legame che c'è fra la funzione caratteristica e il seno cardinale sinc.
"bradipo90":
la funzione caratteristica e il seno cardinale sinc.
Quella non è una dimostrazione (di cosa poi? non hai enunciato nessun teorema), ma un classico esempio di una funzione a supporto compatto la cui trasformata di Fourier non ha il supporto compatto. (Se hai studiato un po' di fisica quantistica, questo fatto potrebbe farti venire in mente il principio di indeterminazione di Heisenberg).
No dissonance, scusami, non era un tentativo di dimostrazione, era una cosa detta così ad intuito.
Ti confesso che è proprio l'interesse del principio, che mi porta un pò a cercare queste dimostrazioni matematiche,
anche per il grande interesse applicativo che ne assume nell mio campo.
Penso che la dimostrazione sia così: ( si suppone solo che la funzione sia in$L^1(RR)$.)
Sia per $a>0$ che la funzione $f $ sia di supporto $[-a,+a]$ e supponiano per assurdo che la sua trasformata $f^$ si annulli su $(c,d)$ con $c
$ F(s)=int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipist)dt $ otteniamo così:
$0=D^n F(u)=(2ipi)^nint_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipiut)t^ndt $
Dove
$int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipiut)t^ndt=0 $ per tutti gli $n>=0$
Utilizzando lo sviluppo di taylor esponenziale, uniformemente converge sui compatti, per ogni $s$ abbiamo
$ F(s)=int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipit(s-u))e^(-2ipitu)dt $
$ sum_(n = 0)^(infty) 1/(n!) (-2pii(s-u))^n int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipiut)t^ndt $
perche la serie uniformemente convergente commuta con l'integrale sul compatto,
pertanto $F-=0$. Per il teorema di inversione di fourier segue che $f-=0$, una contraddizione!
Si deve escludere quindi che $F$ si annulli su di un intervallo.
Questo si può dimostrare facilemente al contrario, cioè quando la trasformata ha supporto compatto
(usando il teo si inversione e la derivazione sotto il segno di integrale.)
Ti confesso che è proprio l'interesse del principio, che mi porta un pò a cercare queste dimostrazioni matematiche,
anche per il grande interesse applicativo che ne assume nell mio campo.
Penso che la dimostrazione sia così: ( si suppone solo che la funzione sia in$L^1(RR)$.)
Sia per $a>0$ che la funzione $f $ sia di supporto $[-a,+a]$ e supponiano per assurdo che la sua trasformata $f^$ si annulli su $(c,d)$ con $c
$ F(s)=int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipist)dt $ otteniamo così:
$0=D^n F(u)=(2ipi)^nint_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipiut)t^ndt $
Dove
$int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipiut)t^ndt=0 $ per tutti gli $n>=0$
Utilizzando lo sviluppo di taylor esponenziale, uniformemente converge sui compatti, per ogni $s$ abbiamo
$ F(s)=int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipit(s-u))e^(-2ipitu)dt $
$ sum_(n = 0)^(infty) 1/(n!) (-2pii(s-u))^n int_(-a)^(+a) f(t)e^(-2ipiut)t^ndt $
perche la serie uniformemente convergente commuta con l'integrale sul compatto,
pertanto $F-=0$. Per il teorema di inversione di fourier segue che $f-=0$, una contraddizione!
Si deve escludere quindi che $F$ si annulli su di un intervallo.
Questo si può dimostrare facilemente al contrario, cioè quando la trasformata ha supporto compatto
(usando il teo si inversione e la derivazione sotto il segno di integrale.)
Ok! Hai dimostrato "a mano" quello che suggeriva Gugo: essendo \(f\) a supporto compatto \(F\) deve essere sviluppabile in serie di potenze ma allora non si può annullare in un intervallo pena l'annullarsi identicamente su tutta la retta.
Se vuoi informazioni sul principio di Heisenberg in matematica un riferimento estremamente interessante è questa lezione di Terence Tao:
http://terrytao.wordpress.com/2010/06/2 ... principle/
Non ti spaventare se ti sembra di non capirci nulla. E' perfettamente normale quando si legge quell'autore. Non ci capisco nulla neanche io, se è per questo (
).
Se vuoi informazioni sul principio di Heisenberg in matematica un riferimento estremamente interessante è questa lezione di Terence Tao:
http://terrytao.wordpress.com/2010/06/2 ... principle/
Non ti spaventare se ti sembra di non capirci nulla. E' perfettamente normale quando si legge quell'autore. Non ci capisco nulla neanche io, se è per questo (
).
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