Perchè una superficie si può rivedere come insieme di livello 0 di una funzione?

[Lightmind]

Perchè una superficie si può rivedere come insieme di livello 0 di una funzione?

[Lightmind]

Non necessariamente 0, qualsiasi reale.

[gugo82]

Teorema del Dini, o giù di lì.

Se la tua superficie è regolare e parametrizzata da:
\[
\begin{cases}
x=x(u,v)\\
y=y(u,v)\\
z=z(u,v)
\end{cases}
\]
per fissato \((u_0,v_0)\) nel dominio base almeno uno degli jacobiani \(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\), \(\frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}\) o \(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\) calcolati in \((u_0,v_0)\) è non nullo. Supponiamo sia il primo, i.e. supponiamo \(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} (u_0,v_0)\neq 0\); allora per il teorema del Dini puoi trovare un intorno di \((u_0,v_0)\), un intorno di \((x_0,y_0)=(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0))\) ed una funzione vettoriale \((u(x,y),v(x,y))\) tali che:
\[
\begin{cases}
x=x(u(x,y),v(x,y))\\
y=y(u(x,y),v(x,y))\\
x_0=x(u(x_0,y_0),v(x_0,y_0))\\
y_0=y(u(x_0,y_0),v(x_0,y_0))
\end{cases}
\]
in tutti i punti dell'intorno.
Conseguentemente, usando la terza equazione della r.p. trovi:
\[
z=z(u(x,y),v(x,y))\qquad \Leftrightarrow \qquad z-z(u(x,y),v(x,y))=0
\]
con l'ultimo membro che è una funzione di \(x,y,z\).

Ovviamente questo è un discorso locale, in generale.

[Lightmind]

Avevo proprio bisogno di un discorso così chiaro! Grazie mille!!