Perchè questo limite fa 1?
[tex]\lim_{x \to -\infty }\frac{e^x-x}{xe^x-x}[/tex]
Così a vederlo si potrebbe considerare come [tex]\frac{1}{x}*\frac{e^x-x}{e^x-x}[/tex] e dovrebbe fare 0...... dato che ho 0*1.
Anche mettendo in evidenza il numero 'e' mi viene 0.
Perchè è sbagliato?
[tex]\frac{e^x(1-\frac{x}{e^x})}{e^x(x-\frac{x}{e^x})}[/tex]
Non capisco...
Così a vederlo si potrebbe considerare come [tex]\frac{1}{x}*\frac{e^x-x}{e^x-x}[/tex] e dovrebbe fare 0...... dato che ho 0*1.
Anche mettendo in evidenza il numero 'e' mi viene 0.
Perchè è sbagliato?
[tex]\frac{e^x(1-\frac{x}{e^x})}{e^x(x-\frac{x}{e^x})}[/tex]
Non capisco...
Risposte
se raccogli $x$ al denominatore, non rimane $e^x-x$ come hai scritto, ma $e^x-1$. prova a tornare indietro.
E no. Attenzione che la $x$ a denominatore moltiplica solo $e^x$, non tutto il denominatore come nella tua prima fattorizzazione. Mentre con la seconda fattorizzazione hai un festival di forme indeterminate, sia a numeratore sia a denominatore.
[edit]Scrivevo contemporaneamente ad adaBTTLS.
[edit]Scrivevo contemporaneamente ad adaBTTLS.
Si ho sbagliato, ma non ne esco fuori, qualunque cosa metta in evidenza, al denominatore metto in evidenza la x, ma poi al numeratore?
A me non viene 1.
A me non viene 1.
Prova a mettere in evidenza la $x$ anche al numeratore.......
Ciao.
Ciao.
Cosa cambia?
Verrebbe:
[tex]\frac{x(-1+\frac{e^x}{x})}{x(e^x-1)}[/tex]
Però [tex]\frac{e^x}{x}[/tex] fa infinito, e il risultato non va..
Verrebbe:
[tex]\frac{x(-1+\frac{e^x}{x})}{x(e^x-1)}[/tex]
Però [tex]\frac{e^x}{x}[/tex] fa infinito, e il risultato non va..
"Darèios89":
Però [tex]\frac{e^x}{x}[/tex] fa infinito
Sicuro sicuro?
"Darèios89":
Cosa cambia?
Verrebbe:
[tex]\frac{x(-1+\frac{e^x}{x})}{x(e^x-1)}[/tex]
Però [tex]\frac{e^x}{x}[/tex] fa infinito, e il risultato non va..
tieni presente che il limite lo devi calcolare per $x$ tendente a meno infinito e immagina la frazione come prodotto......
Ciao.
Azz...mi ero confuso con gli inifniti.... 
Io farei così:
$lim_(x->-\infty)\frac{e^x-x}{xe^x-x}=lim_(x->-\infty)\frac{e^x-x}{x}*\frac{1}{e^x-1}=lim_(x->-\infty)(\frac{e^x}{x}-1)*\frac{1}{e^x-1}$
Ora siccome $lim_(x->-\infty)\frac{e^x}{x}=0$ il primo fattore del prodotto tende a -1. Il secondo fattore tende a -1, dunque il prodotto tende a 1.
$lim_(x->-\infty)\frac{e^x-x}{xe^x-x}=lim_(x->-\infty)\frac{e^x-x}{x}*\frac{1}{e^x-1}=lim_(x->-\infty)(\frac{e^x}{x}-1)*\frac{1}{e^x-1}$
Ora siccome $lim_(x->-\infty)\frac{e^x}{x}=0$ il primo fattore del prodotto tende a -1. Il secondo fattore tende a -1, dunque il prodotto tende a 1.
Grazie ma preferisco il metodo di prima...
Ho calcolato il limite e adesso mi viene corretto. Grazie.
Ho un altro problema, dovrei calcolare le derivate di questa funzione:
[tex]\frac{e^x+|x|}{e^x-1}[/tex]
Ora per x>=0 la derivata è:
[tex]\frac{-xe^x-1}{(e^x-1)^2}[/tex]
Per studiarla ho dei problemi.
Il denominatore dovrebbe essere positivo per x diverso da 0)
Il numeratore non so come studiarlo.
[tex]xe^x+1<0[/tex]
Così su due piedi mi sembra che non sia mai verificata....però non so come risolverla, devo passare al logaritmo?
[tex]xe^x+e^{log1}<0[/tex]
Non so se è giusto, nè come andare avanti...
Ho calcolato il limite e adesso mi viene corretto. Grazie.Ho un altro problema, dovrei calcolare le derivate di questa funzione:
[tex]\frac{e^x+|x|}{e^x-1}[/tex]
Ora per x>=0 la derivata è:
[tex]\frac{-xe^x-1}{(e^x-1)^2}[/tex]
Per studiarla ho dei problemi.
Il denominatore dovrebbe essere positivo per x diverso da 0)
Il numeratore non so come studiarlo.
[tex]xe^x+1<0[/tex]
Così su due piedi mi sembra che non sia mai verificata....però non so come risolverla, devo passare al logaritmo?
[tex]xe^x+e^{log1}<0[/tex]
Non so se è giusto, nè come andare avanti...
tu hai fatto il caso $x>0$, ma allora può essere $xe^x<-1$ ?
Mi sembra di no.....che non possa essere minore di -1..
direi di no, perché è il prodotto di due termini positivi ... allora il numeratore della derivata non cambia mai segno per $x>0$ ...
Quindi dato che la funzione è in valore assoluto significa che nel caso in cui x<0 e vale la prima legge di definizione la funzione sarà crescente per x<0?
Perchè se il denominatore è sempre positivo mi pare di aver capito che al numeratore non è mai verificata quindi nel grafico delle soluzioni troverei x<0?
E se considero il modulo negativo e l'altra derivata [tex]\frac{e^x(x-2)+1}{(e^x-1)^2}>0[/tex]
E dovrebbe venire positiva per x>2, o sbaglio?
Perchè se il denominatore è sempre positivo mi pare di aver capito che al numeratore non è mai verificata quindi nel grafico delle soluzioni troverei x<0?
E se considero il modulo negativo e l'altra derivata [tex]\frac{e^x(x-2)+1}{(e^x-1)^2}>0[/tex]
E dovrebbe venire positiva per x>2, o sbaglio?
attento, considera che il valore assoluto è solo ad un addendo del numeratore. per la positività del numeratore della funzione non ci sono problemi, ma la derivata non è né uguale né opposta nei due casi. quindi quello che hai studiato finora (post precedenti) ti permette di dire che la funzione è $"decrescente "AA x>0$, e basta. per $x<0$ dipende invece da questo secondo calcolo che hai fatto, e non ti dimenticare che vale per x<0, ma per x=2 non viene 0 ma 1, dunque $"non"$ è positiva $"solo"$ per $x>2$. ... fammi sapere. ciao.
Mh....forse sbaglio i calcoli, nello studiare la derivata per x<0.
Il numeratore [tex]e^x(x-2)+1[/tex]
[tex]e^x[/tex] sempre positivo, [tex]x-2>0[/tex] se [tex]x>2[/tex], il numeratore dovrebbe essere positivo per [tex]x>2[/tex]
Il denominatore credo che sia sempre positivo tranne per [tex]x=0[/tex]
Quindi dovrei fare lo studio del segno di queste soluzioni.
[tex]x>2[/tex] e [tex]x\neq0[/tex]
E a me...viene positiva solo per [tex]x>2[/tex]
Non so dove sbaglio...
Il numeratore [tex]e^x(x-2)+1[/tex]
[tex]e^x[/tex] sempre positivo, [tex]x-2>0[/tex] se [tex]x>2[/tex], il numeratore dovrebbe essere positivo per [tex]x>2[/tex]
Il denominatore credo che sia sempre positivo tranne per [tex]x=0[/tex]
Quindi dovrei fare lo studio del segno di queste soluzioni.
[tex]x>2[/tex] e [tex]x\neq0[/tex]
E a me...viene positiva solo per [tex]x>2[/tex]
Non so dove sbaglio...
per quello che ti serve ($x<0$), forse il discorso è inutile, e magari dovresti ricorrere ad altri sistemi per trovare la soluzione...
rimane però il fatto che non stai considerando il termine $+1$, e la conclusione che hai tratto è solamente: "per x>2 ho la somma di due termini positivi".
ribadisco: risolvere $e^x(x-2)>0$ equivale a risolvere $e^x(x-2)+1>1$ non $e^x(x-2)+1>0$.
ma chi ti garantisce che per valori minori di 2 non sia compresa tra 0 e 1? anzi, è certo che esistono tali valori in (0,2), però a te interessano valori di x negativi.
ci sei ora?
rimane però il fatto che non stai considerando il termine $+1$, e la conclusione che hai tratto è solamente: "per x>2 ho la somma di due termini positivi".
ribadisco: risolvere $e^x(x-2)>0$ equivale a risolvere $e^x(x-2)+1>1$ non $e^x(x-2)+1>0$.
ma chi ti garantisce che per valori minori di 2 non sia compresa tra 0 e 1? anzi, è certo che esistono tali valori in (0,2), però a te interessano valori di x negativi.
ci sei ora?
Allora, io ho delle difficoltà nelle disequazioni sicuramente....
Se studio la derivata allora il denominatore sarà sempre positivo per x diverso da 0.
Devo studiare poi al numeratore:
[tex]e^x(x-2)>-1[/tex] giusto?
[tex]e^x[/tex] è sempre maggiore di -1, mentre [tex]x-2>-1=x>1[/tex]
In definitiva questa derivata mi risulta positiva per [tex]x>1[/tex]
Manca qualcosa?
Se studio la derivata allora il denominatore sarà sempre positivo per x diverso da 0.
Devo studiare poi al numeratore:
[tex]e^x(x-2)>-1[/tex] giusto?
[tex]e^x[/tex] è sempre maggiore di -1, mentre [tex]x-2>-1=x>1[/tex]
In definitiva questa derivata mi risulta positiva per [tex]x>1[/tex]
Manca qualcosa?
non si può tradurre quello che dice la legge di annullamento del prodotto a qualsiasi numero:
si studia il segno dei singoli fattori, cioè la disuguaglianza rispetto allo zero, non a -1: a cosa ti serve sapere che due fattori sono maggiori di -1? potrebbero anche essere di segno opposto, ad esempio uno -0.5 e l'altro 10, e il loro prodotto in questo caso sarebbe -5, quindi minore di -1 ...
cerca di ragionare.
pensa piuttosto che quando incontri qualcosa che non sai fare forse non è una cosa elementare, forse bisogna ricorrere a qualche espediente per venirne a capo, ma per favore non buttare risposte a caso ...
allora ...
siamo arrivati alla conclusione che la disequazione non si risolve per via elementare.
a questo punto ti chiedo: se hai la funzione $f(x)=e^x(x-2)+1, " con "x<0$ e volessi studiarne il segno, che cosa faresti?
si studia il segno dei singoli fattori, cioè la disuguaglianza rispetto allo zero, non a -1: a cosa ti serve sapere che due fattori sono maggiori di -1? potrebbero anche essere di segno opposto, ad esempio uno -0.5 e l'altro 10, e il loro prodotto in questo caso sarebbe -5, quindi minore di -1 ...
cerca di ragionare.
pensa piuttosto che quando incontri qualcosa che non sai fare forse non è una cosa elementare, forse bisogna ricorrere a qualche espediente per venirne a capo, ma per favore non buttare risposte a caso ...
allora ...
siamo arrivati alla conclusione che la disequazione non si risolve per via elementare.
a questo punto ti chiedo: se hai la funzione $f(x)=e^x(x-2)+1, " con "x<0$ e volessi studiarne il segno, che cosa faresti?
Se la disequazione non si può risolvere elementarmente mi pare bisogna farlo considerando il grafico.
Solo che non è una cosa che alle superiori ho fatto, e non so come fare..
Se ho:
[tex]e^x(x-2)+1[/tex] con [tex]x<0[/tex] e devo studiarne il segno significa che debba fare:
[tex]e^x(x-2)+1[/tex]>0[/tex] giusto?
Posso ragionare su [tex]e^x[/tex] che è sempre positivo, ma non so come considerare tutto l'insieme che devo studiare....
Solo che non è una cosa che alle superiori ho fatto, e non so come fare..
Se ho:
[tex]e^x(x-2)+1[/tex] con [tex]x<0[/tex] e devo studiarne il segno significa che debba fare:
[tex]e^x(x-2)+1[/tex]>0[/tex] giusto?
Posso ragionare su [tex]e^x[/tex] che è sempre positivo, ma non so come considerare tutto l'insieme che devo studiare....
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