Perchè questo limite fa 1?

[Darèios89]

[tex]\lim_{x \to -\infty }\frac{e^x-x}{xe^x-x}[/tex]

Così a vederlo si potrebbe considerare come [tex]\frac{1}{x}*\frac{e^x-x}{e^x-x}[/tex] e dovrebbe fare 0...... dato che ho 0*1.
Anche mettendo in evidenza il numero 'e' mi viene 0.
Perchè è sbagliato?

[tex]\frac{e^x(1-\frac{x}{e^x})}{e^x(x-\frac{x}{e^x})}[/tex]

Non capisco...

[adaBTTLS1]

se ricorri al "segno", non stai facendo nulla di nuovo rispetto ai post precedenti.
ora hai isolato un fattore di cui non sai studiare il segno in maniera elementare, ti ho suggerito di chiamarlo $f(x)$, vuol dire che dovresti ricorrere all'analisi (cose che sai fare, perché le hai già fatte per la funzione originaria, ti sto solo proponendo di ripeterle per la nuova funzione semplice che però è il numeratore della derivata di quella che devi studiare).
a come interpretare il risultato ci penserai dopo; ora la domanda è molto più semplice: come faresti a verificare se* $f(x)<0 AAx<0$ non sapendo studiarne il segno per via elementare?

EDIT: avevo scritto "che" al posto di "se". in realtà, come si vede dagli interventi successivi, f(x) non ha sempre lo stesso segno in $(-oo,0)$.
approfitto di questa revisione per riepilogare quali sono le funzioni:
$y=(e^x+|x|)/(e^x-1) -> ["caso x<0] y'=(e^x(x-2)+1)/(e^x-1)^2$
$f(x)=e^x(x-2)+1 -> f'(x)=e^x(x-1)$ (che ci interessa solo per $x<0$)

[Darèios89]

Mh.....facendone il grafico e verificando se si trova nel terzo quadrante?

[adaBTTLS1]

con la derivata no?

[Darèios89]

Eh..avevo pensato che si dovesse fare così, però non so trovarlo immediatamente, cioè parto da un esercizione che è lo studio di una funzione e all'interno dovrei sapere fare il grafico di un' altra funzione senza problemi?
Non so come farlo...dovrei rappresentare:

[tex]e^x(x-2)+1[/tex]

e [tex](e^x-1)^2[/tex]

Sulla seconda non c'è bisogno perchè sappiamo che vale per x diverso da 0.

Per la prima.....come considero il grafico....non so farlo...a mente....
la prima parte[tex]e^x(x-2)[/tex] si vede che è positiva per x>2 e c'eravamo arrivati, ma non so come fare con l'altro 1.....

[adaBTTLS1]

da dove viene quel quadrato?
se $f(x)=e^x(x-2)+1$ allora se non sbaglio dovrebbe essere $f'(x)=e^x(x-1)$ che ci dice che $f(x)$ è decrescente per ogni valore della x che ti interessa ($x<0$).
questo significa che hai al massimo un valore per cui si annulla $f(x)$, e se questo valore esiste lo puoi trovare direttamente con qualche calcolo (sostituzione dei valori della x); se esiste (chiamiamolo $x_0$), vuol dire che $f(x)>0 AA x

Cita

Segnala

[Darèios89]

Il quadrato se non ricordo male era dato dalla derivata della funzione di partenza che è il primo post in pratica.

Non ti seguo in una parte....hai detto in base ai tuoi calcoli che la funzione di cui ti sei calcolato la derivata è positiva per ogni x minore di x0 e negativa in (x0,0).

Quel punto x0 nel nostro caso dovrebbe essere solamente il valore [tex]x=1[/tex] che annulla la derivata.

M da questo grafico, che è quello della funzione

[tex]e^x(x-2)+1[/tex] la situazione mi sembra diversa....

http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG

La funzione dovrebbe essere positiva per x<1 da quello che hai detto tu...ma non mi sembra..

[adaBTTLS1]

Non ti seguo in una parte....hai detto in base ai tuoi calcoli che la funzione di cui ti sei calcolato la derivata è positiva per ogni x minore di x0 e negativa in (x0,0).

non mi pare di aver detto questo.
tu stesso dici che la derivata di f si annulla solo in x=1. io ti ho detto solo che per x<0 (perché tutto il calcolo riguarda questo caso), f'<0, cioè f decrescente.
se f è decrescente vuol dire che parte da un estremo superiore per $x-> -oo$ e va un valore minimo in $x=0$. dunque, poiché $f(0)=-1$ e $lim_(x->-oo)\f(x)=+1$, esiste uno ed un solo valore di $x in (-oo;0)$ (il famoso $x_0$), per cui f si annulla. ma questa funzione f è positiva a sinistra di x0 e negativa a destra di x0. ma questa f non è altro che il numeratore della derivata della tua funzione, che aveva il denominatore sempre positivo per x<0. dunque il segno della f coincide con il segno della derivata della tua funzione: positiva da -oo a x0, negativa da x0 a 0. dunque la tua funzione è crescente in $(-oo,x_0)$ e decrescente in $(x_0,0)$. ci sei ora?

[Darèios89]

No...scusa se insisto, ma non mi ritrovo con quello che dici. Sono decisamente confuso.

Su quanto detto sulla derivata ci siamo, e che per [tex]x=0[/tex] assume un punto di minimo che è [tex]-1[/tex] il nostro x0.

Poi esiste in [tex](-\infty, 0)[/tex] un unico valore per cui si annulla. Ma quel valore è 1 e non è in [tex]-\infty, 0[/tex] e questo mi spaventa...

Poi è positiva a sinistra di x0, cioè a sinistra di [tex]x=1[/tex] perchè essendo decrescente parte da sopra e arriva in quel punto e potrei anche capirlo.
Però poi come fai a dire che è negativa dopo?
tra l'altro per x>0 la funzione è crescente dallo studio della derivata quindi com'è possibile che sia negativa?
In ogni caso.....sono io che sto capendo male ma se dici che la funzione per x MA nel grafico io la funzione la vedo in parte negativa e non solo positiva per x<1....
E dopo per [tex]x>1[/tex] la vedo che poi diventa positiva...non mi quadra....sbaglierò io a "considerare" le cose.....

http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG

[adaBTTLS1]

la tua confusione riguarda la f, la f', la derivata della tua funzione e la tua funzione.
$f'(x)<0 AA x <1 " e dunque a maggior ragione "AAx in (-oo, 0)$.
il segno di f' ti dice l'andamento di f (che è crescente quando f' è positiva, e decrescente quando f' è negativa, dunque $f$ è decrescente $AA x in (-oo,0)$)
il grafico che tu riporti è la f, che si annulla in $x_0 cong -1,2$ (in base al disegno).
ma la f era il numeratore della derivata della tua funzione (nel caso x<0).
dunque il segno della f per x<0 ti dà l'andamento della tua funzione: crescente prima di $x_0$ e decrescente dopo: dunque la tua funzione originara ha un massimo per $x=x_0$.
spero di averti convinto, altrimenti non saprei come fare. ciao.

[Darèios89]

Va bene, l'aiuto, me l'hai dato e come, credo che faccio troppa confusione perchè nel frattempo studio altre cose.
Domani mattina mi rimetto a farla e dato che ho imparato questo metodo che hai suggerito, provo a rifare il tutto.
Ti ringrazio tanto e ti prego di scusare la mia testardaggine

[adaBTTLS1]

prego.
cerco di rimettere a posto un intervento della pagina precedente che forse poteva essere fuorviante.
intanto ti ricordo che:
1) hai studiato senza problemi la funzione per x>0;
2) hai posto x<0 ed hai trovato la derivata: il segno del numeratore non si trovava per via elementare, il segno del denominatore non era mai negativo;
3) ti ho suggerito di aprire una parentesi e studiare il segno del numeratore della derivata senza portarti dietro il denominatore e usando la tecnica dello studio di funzione, chiamando la nuova funzione (numeratore della derivata) f(x);
4) visto che la disequazione non si risolveva per via elementare, bisognava trovare la derivata (f'(x)), il cui segno invece si trovava per via elementare: così abbiamo scoperto che nell'intervallo di interesse (x<0) la f' era sempre negativa e di conseguenza la f sempre decrescente;
5) dall'ipotesi che f è strettamente decrescente da -oo a 0, segue che in tale intervallo può avere al massimo un'intersezione con l'asse x;
6) dall'ipotesi che f è continua da -oo a 0, segue che in tale intervallo assume almeno una volta ciascun valore compreso tra inf e sup (solo 1 volta poiché strettamente monotòna);
7) dai due punti precedenti, poiché il limite di f(x) per x->-oo è +1 e f(0)=-1, segue che f si annulla esattamente una volta in (-oo,0), nel punto che abbiamo chiamato x0);
8) essendo f strettamente decrescente ed annullandosi in x0, sarà f(x)>0 per xx0;
9) abbiamo concluso con il segno della f: il segno della derivata della tua funzione coincide con il segno della f. dunque la tua funzione è crescente in (-oo,x0), decrescente in (x0,0).