Per quali valori di a risulta convergente la serie
Dire per quali valori del parametro a (numero reale) risulta convergente la serie:
\(\displaystyle∑\frac{log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})+\frac{1}{n}}{n^{a-2}} \) serie va da n=1 a infinito..
Io qui ho pensato di cercare di fare venire lo stesso infinitesimo sopra e sotto e in questo modo dire che è convergente..
poi mi sono chiesto se il termine generale della serie tendeva a 0; al numeratore mi viene sempre per n che tende a infinito e sotto invece devo escludere il valore che mi fa venire n = 0.
E' giusto il mio ragionamento?
\(\displaystyle∑\frac{log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})+\frac{1}{n}}{n^{a-2}} \) serie va da n=1 a infinito..
Io qui ho pensato di cercare di fare venire lo stesso infinitesimo sopra e sotto e in questo modo dire che è convergente..
poi mi sono chiesto se il termine generale della serie tendeva a 0; al numeratore mi viene sempre per n che tende a infinito e sotto invece devo escludere il valore che mi fa venire n = 0.
E' giusto il mio ragionamento?
Risposte
Molto confuso...
Confuso il testo o il mio ragionamento?
Il tuo ragionamento, purtroppo, non si capisce perché non usi i termini corretti.
Riprova, oppure scrivi qualche formula per chiarire.
Riprova, oppure scrivi qualche formula per chiarire.
Allora riprovo 
Per prima cosa sapendo che per la condizione necessaria ma non sufficiente per le serie numeriche il termine generale delle serie deve tendere a 0, ho cercato per quali valori questo accade e ho trovato che al numeratore mi viene 0 e al denominatore ho sempre n^(a-2) dunque ho pensato di dover escludere per iniziare i valori per il quale mi viene 0 anche il denominatore.
Poi ho pensato a quale criterio usare per semplificare un po' i calcoli senza avere molto successo. dunque ho iniziato a ragionare logicamente.. in termini di grado di infiniti e sono arrivato a dedurre che per convergere la serie deve avere lo stesso grado di infiniti sopra e sotto. Non ho idea se questo ragionamento possa avere una base di verità.
Per prima cosa sapendo che per la condizione necessaria ma non sufficiente per le serie numeriche il termine generale delle serie deve tendere a 0, ho cercato per quali valori questo accade e ho trovato che al numeratore mi viene 0 e al denominatore ho sempre n^(a-2) dunque ho pensato di dover escludere per iniziare i valori per il quale mi viene 0 anche il denominatore.Poi ho pensato a quale criterio usare per semplificare un po' i calcoli senza avere molto successo. dunque ho iniziato a ragionare logicamente.. in termini di grado di infiniti e sono arrivato a dedurre che per convergere la serie deve avere lo stesso grado di infiniti sopra e sotto. Non ho idea se questo ragionamento possa avere una base di verità.
"saettone":
Per prima cosa sapendo che per la condizione necessaria ma non sufficiente per le serie numeriche il termine generale delle serie deve tendere a 0 [...]
"Condizione necessaria ma non sufficiente per le serie numeriche" affinché accada cosa???
"saettone":
[...] ho cercato per quali valori questo accade e ho trovato che al numeratore mi viene 0 e al denominatore ho sempre n^(a-2) dunque ho pensato di dover escludere per iniziare i valori per il quale mi viene 0 anche il denominatore.
Cos'è che "viene 0"???
Il numeratore ed il denominatore non si annullano mai, quindi essi non sono zero...
"saettone":
Poi ho pensato a quale criterio usare per semplificare un po' i calcoli senza avere molto successo. dunque ho iniziato a ragionare logicamente.. in termini di grado di infiniti e sono arrivato a dedurre che per convergere la serie deve avere lo stesso grado di infiniti sopra e sotto. Non ho idea se questo ragionamento possa avere una base di verità.
Cos'è il "grado di infiniti"?
1) affinche la serie sia convergente (cosa che devo trovare nel testo dell'esercizio)
2)se faccio il limite per n che tende a infinito del termine generale della serie, mi viene 0 al numeratore poichè: 1/infinito è 0, 1/radice di infinito è 0.. e mi resta logaritmo di 1 che è 0. quindi ho 0 al numeratore... come non si annulla mai??
3)il grado a cui è elevato n.. ad esempio al denominatore il grado è a-2
2)se faccio il limite per n che tende a infinito del termine generale della serie, mi viene 0 al numeratore poichè: 1/infinito è 0, 1/radice di infinito è 0.. e mi resta logaritmo di 1 che è 0. quindi ho 0 al numeratore... come non si annulla mai??
3)il grado a cui è elevato n.. ad esempio al denominatore il grado è a-2
A qualcuno viene in mente un criterio utile da usare?
"saettone":
1) affinche la serie sia convergente (cosa che devo trovare nel testo dell'esercizio)
Ah, ecco...
"saettone":
2)se faccio il limite per n che tende a infinito del termine generale della serie, mi viene 0 al numeratore poichè: 1/infinito è 0, 1/radice di infinito è 0.. e mi resta logaritmo di 1 che è 0. quindi ho 0 al numeratore... come non si annulla mai??
Ah, il limite di numeratore e denominatore è nullo... Non il numeratore od il denominatore in sé.
"saettone":
3)il grado a cui è elevato n.. ad esempio al denominatore il grado è a-2
Si chiama ordine d'infinitesimo/infinito, non "grado".
Ad ogni modo, puoi pensare di usare confronto asintotico.
Invero, hai:
\[
\log (1+y) \approx y \qquad \text{per } y\to 0
\]
quindi \(\log (1+1/\sqrt{n}) \approx 1/\sqrt{n}\) e perciò la successione degli addendi si comporta asintoticamente come:
\[
\frac{\frac{1}{\sqrt{n}} +\frac{1}{n}}{n^{a-2}}\; ;
\]
d'altra parte, sai certamente stabilire l'ordine d'infinitesimo del numeratore, chiamiamolo \(p\) (che è un numero che sai calcolare), quindi la successione degli addendi si comporta asintoticamente come:
\[
\frac{\frac{1}{n^p}}{n^{a-2}} = \frac{1}{n^{a-p-2}}
\]
e di qui concludi usando i risultati noti sul comportamento della serie armonica generalizzata.
grazie mille per la pazienza! Utilissimo
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