Per prepararsi ad Analisi I...
Propongo il seguente integrale, per chi come me si sta preparando per la prova scritta di Analisi I.
Risposte
"cavallipurosangue":
C'è qualcosa che non mi torna nella tua dimostrazione..
Perchè $\theta$ varia tra 0 e $\pi/2$? Quella che conosco io imposta così:
$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}\rhoe^{-\rho^2}d\rho$
è già è vero! Mi sono confuso
Sai qualcosa riguardo a
$int_(RR) e^(-x^4) dx$
Ciao, ciao!
Persolnalmente no, credo che rimanga ancora non calcolabile. Cmq mi ero immaginato che ti eri confuso perchè avevo notato due errori, che messi assieme facevano tornare lo stesso il risultato:
Hai sbagliato lo jacobiano infatti la matrice $((cos\theta,sin\theta),(-\rho\sin\theta,\rho\cos\theta))$ ha determinante $\rho$ e non $2\rho$,
e poi hai confuso gli estremi di integrazione dell'angolo.
In $RR^2$ infatti come si fa a raggiungere tutti i punti del piano se non ruotando di 360° con un raggio che comprende tutti i valori reali positivi?
Hai sbagliato lo jacobiano infatti la matrice $((cos\theta,sin\theta),(-\rho\sin\theta,\rho\cos\theta))$ ha determinante $\rho$ e non $2\rho$,
e poi hai confuso gli estremi di integrazione dell'angolo.
In $RR^2$ infatti come si fa a raggiungere tutti i punti del piano se non ruotando di 360° con un raggio che comprende tutti i valori reali positivi?
Come hai detto tu, due errori che messi insieme facevano tornare i conti! 
Ciao, ciao!
Ciao, ciao!
Interessante il risultato che dà Derive per il calcolo di $int_(-oo)^(+oo) e^(-x^4)dx =2*(1/4)! $ [sì il fattoriale di 1/4] .
Il valore approssimato dell'integrale è : 1.8128.
Chi sa interpretarlo ?
Camillo
Il valore approssimato dell'integrale è : 1.8128.
Chi sa interpretarlo ?
Camillo
penso perche implichi la funzione $Gamma(z)$ (gamma).
Cmq come fa ad esistere il fattoriale di un numero decimale?!'
Cmq come fa ad esistere il fattoriale di un numero decimale?!'
"blackdie":
penso perche implichi la funzione $Gamma(z)$ (gamma).
Cmq come fa ad esistere il fattoriale di un numero decimale?!'
Basta saper che $Gamma(n+1)=n!$ e si può estendere la definizione di fattoriale a tutti i numeri.
Come si estende a tutti i numeri?
"camillo":
Interessante il risultato che dà Derive per il calcolo di $int_(-oo)^(+oo) e^(-x^4)dx =2*(1/4)! $ [sì il fattoriale di 1/4] .
Il valore approssimato dell'integrale è : 1.8128.
Chi sa interpretarlo ?
Camillo
Abbiamo
$int_0^infty e^(-x^4)dx$
cambiando la variabile $x=y^(1/4)$ diventa
$1/4 int_0^infty y^(-5/4) e^(-y)dx = 1/4 Gamma(1/4)$
dato che $Gamma(z+1)=z!$ allora $1/4 Gamma(1/4)=(1/4)!$
Credo di aver fatto giusto,
Ciao, ciao!
Si, hai fatto giusto!!
"leonardo":
Si, ha fatto giusto!!
Peccato però che $(1/4)!$ non abbia una forma eplicita!
Esiste questa formula generale molto utile e carina:
Con $n>(-1)$ e $m,a>0$
$int_{0}^{+oo} x^n*e^(-a*x^m) dx=(Gamma((n+1)/m))/(m*a^((n+1)/m))$
Con $n>(-1)$ e $m,a>0$
$int_{0}^{+oo} x^n*e^(-a*x^m) dx=(Gamma((n+1)/m))/(m*a^((n+1)/m))$
"leonardo":
Esiste questa formula generale molto utile e carina:
Con $n>(-1)$ e $m,a>0$
$int_{0}^{+oo} x^n*e^(-a*x^m) dx=(Gamma((n+1)/m))/(m*a^((n+1)/m))$
Grazie, forse senza volerlo mi hai dato un suggerimento per un problema a cui sto lavorando!
Ciao
Ne esiste anche un'altra di formula per $Gamma ( 1/4) $ ma fa riferimento a integrali ellittici !
$Gamma(1/4) = 2*pi^(1/4)[K(k_1)]^(1/2) $ dove K(k) è un integrale ellittico completo del I tipo..
Camillo
$Gamma(1/4) = 2*pi^(1/4)[K(k_1)]^(1/2) $ dove K(k) è un integrale ellittico completo del I tipo..
Camillo
Troppo bella questa definizione: $Gamma (z)=int_{0}^{1} [ln(1/t)]^(z-1) dt$
"leonardo":
Troppo bella questa definizione
Devo dire che la $Gamma$ di Eulero è una funzione molto elegante:
$Gamma(s)zeta(s)=int_0^infty x^(s-1)/(e^x-1) dx$
dove $zeta$ è la zeta di Riemann
Eh si! C'è anche la forma di Weierstrass: $[z*e^(gamma * z) * prod_{r=1}^{oo}(1+z/r)*e^(-z/r)]^(-1)$, dove $gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.
"leonardo":
Eh si! C'è anche la forma di Weierstrass: $[z*e^(gamma * z) * prod_{r=1}^{oo}(1+z/r)*e^(-z/r)]^(-1)$, dove $gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.
Tra l'altro quest'ultima permette di trovare il legame con il seno
$Gamma(z)Gamma(-z)=pi/(sin(z pi))$
Tra l'altro quest'ultima permette di trovare il legame con il seno
$Gamma(z)Gamma(-z)=pi/(sin(z pi))$
Veramente $Gamma(z)*Gamma(-z)=-(pi)/(z*sin(pi*z))$
La relazione che hai scritto tu è: $Gamma(z)*Gamma(1-z)=pi/(sin(pi*z))$
"fireball":
In ogni caso i teoremi credo di saperli applicare!!!
Guarda che non era riferito a te; stavo facendo un discorso generale sulla didattica.
"fireball":
Solo una cosa: puoi cercare di esprimerti in modo un po' più "garbato"?
Perdonami, ma "rimani col culo per terra" è un'espressione proprio brutta.
Sara' anche brutta ma sicuramente e' molto figurativa!!
Platone
"leonardo":
Veramente $Gamma(z)*Gamma(-z)=-(pi)/(z*sin(pi*z))$
è già ho fatto il prodotto e hai ragione tu
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