Per prepararsi ad Analisi I...
Propongo il seguente integrale, per chi come me si sta preparando per la prova scritta di Analisi I.
Risposte
Dio mio che brutto integrale!
A guardarlo cosi' non sono neanche sicuro che si possa risolvere; forse se ne puo' studiare la convergenza...
Cmq se c'e' scritto calcolare vuol dire che un modo ci sara', anche se cinceramente non capisco l'utilita' didattica di assegnare conti cosi' linghi e complicati: anche se dopo mezzora, con diversi cambi di variabile, con tanti spezzettamenti e integrazioni per parte (e con molta fortuna nel non sbagliare nessun segnatto e cose simili) uno riesce a risolverlo vuol dire che conosce meglio il calcolo integrale rispetto a qualcunaltro?
Sinceramente non credo proprio.
Credo sia molto piu' utile far integrali con meno calcoli ma la cui risoluziome richieda l'applicazione di teoremi analitici.
Io lascerei l'arduo compito di risolvere quell'integrale ad un calcolatore.
Platone
A guardarlo cosi' non sono neanche sicuro che si possa risolvere; forse se ne puo' studiare la convergenza...
Cmq se c'e' scritto calcolare vuol dire che un modo ci sara', anche se cinceramente non capisco l'utilita' didattica di assegnare conti cosi' linghi e complicati: anche se dopo mezzora, con diversi cambi di variabile, con tanti spezzettamenti e integrazioni per parte (e con molta fortuna nel non sbagliare nessun segnatto e cose simili) uno riesce a risolverlo vuol dire che conosce meglio il calcolo integrale rispetto a qualcunaltro?
Sinceramente non credo proprio.
Credo sia molto piu' utile far integrali con meno calcoli ma la cui risoluziome richieda l'applicazione di teoremi analitici.
Io lascerei l'arduo compito di risolvere quell'integrale ad un calcolatore.
Platone
Non sono d'accordo, Platone.
Se si becca la strada giusta, possono
bastare anche 30 secondi per risolverlo!
Dietro a questo all'apparenza difficilissimo
integrale, si nasconde qualcosa di più facile...
Se si becca la strada giusta, possono
bastare anche 30 secondi per risolverlo!
Dietro a questo all'apparenza difficilissimo
integrale, si nasconde qualcosa di più facile...
Detto L l'integrale ,si ha:
$L=int (arctanx)/(1+x^2)1/(log^2(sqrtx+1))dx-int (arctan^2x)/[2(sqrtx+x)log^3(sqrtx+1)]dx$
Ovvero integrando il primo integrale per parti:
$L=(arctan^2x)/(2log^2(sqrtx+1))+int (arctan^2x)/[2(sqrtx+x)log^3(sqrtx+1)]dx-int (arctan^2x)/[2(sqrtx+x)log^3(sqrtx+1)]dx$
Pertanto:
$L=(arctan^2x)/(2log^2(sqrtx+1))+C$
Archimede
@Platone
Cosa vuol dire studiare la convergenza di un integrale indefinito?
$L=int (arctanx)/(1+x^2)1/(log^2(sqrtx+1))dx-int (arctan^2x)/[2(sqrtx+x)log^3(sqrtx+1)]dx$
Ovvero integrando il primo integrale per parti:
$L=(arctan^2x)/(2log^2(sqrtx+1))+int (arctan^2x)/[2(sqrtx+x)log^3(sqrtx+1)]dx-int (arctan^2x)/[2(sqrtx+x)log^3(sqrtx+1)]dx$
Pertanto:
$L=(arctan^2x)/(2log^2(sqrtx+1))+C$
Archimede
@Platone
Cosa vuol dire studiare la convergenza di un integrale indefinito?
"fireball":
Non sono d'accordo, Platone.
Se si becca la strada giusta, possono
bastare anche 30 secondi per risolverlo!
Dietro a questo all'apparenza difficilissimo
integrale, si nasconde qualcosa di più facile...
A me viene
$(arctan^2(x))/(2log^2(sqrt(x)+1))$
ma ho fatto tutto a mano e forse mi sbaglio!
Ciao, ciao!
Archimede mi hai battuto per poco!
@fireball
Daccordo, se lo hai trovato su un libro vuol dire che si puo' risolvere, ma quelo che volevo dire e' che e' piu' importante saper applicare la matematica piuttosto che risolvere conti difficili (si trattasse anche di trovare lo stratagemma giusto).
Il conto te lo fa anche un computer, ma i teoremi se non li sai aplicare rimani col culo per terra.
E per questo che ritengo che l'attenzione dovrebbe essere concentrata piu' su quest'aspetto.
@archimede
vuol dire stabilire se l'integrale e' finito o meno senza risolverlo esplicitamente.
Platone
Daccordo, se lo hai trovato su un libro vuol dire che si puo' risolvere, ma quelo che volevo dire e' che e' piu' importante saper applicare la matematica piuttosto che risolvere conti difficili (si trattasse anche di trovare lo stratagemma giusto).
Il conto te lo fa anche un computer, ma i teoremi se non li sai aplicare rimani col culo per terra.
E per questo che ritengo che l'attenzione dovrebbe essere concentrata piu' su quest'aspetto.
@archimede
vuol dire stabilire se l'integrale e' finito o meno senza risolverlo esplicitamente.
Platone
Ne approfitto per farvi una domanda: come si fa a stabilire se un integrale indefinito è esprimibile in termini di funzioni elementari, o in altri termini se è risolvibile?
Ciao, e grazie!
Ciao, e grazie!
"Platone":
Dio mio che brutto integrale!
A guardarlo cosi' non sono neanche sicuro che si possa risolvere; forse se ne puo' studiare la convergenza...
Cmq se c'e' scritto calcolare vuol dire che un modo ci sara', anche se cinceramente non capisco l'utilita' didattica di assegnare conti cosi' linghi e complicati: anche se dopo mezzora, con diversi cambi di variabile, con tanti spezzettamenti e integrazioni per parte (e con molta fortuna nel non sbagliare nessun segnatto e cose simili) uno riesce a risolverlo vuol dire che conosce meglio il calcolo integrale rispetto a qualcunaltro?
Sinceramente non credo proprio.
Credo sia molto piu' utile far integrali con meno calcoli ma la cui risoluziome richieda l'applicazione di teoremi analitici.
Io lascerei l'arduo compito di risolvere quell'integrale ad un calcolatore.
Platone
Concordo al 100%. Per fare ste cose c'e' il Maple...
"david_e":
Concordo al 100%. Per fare ste cose c'e' il Maple...
Archimede e io ci siamo riusciti lo stesso, comunque è vero che non ha senso risolvere integrali così complicati...
Bisognerebbe lavorare con integrali più semplici ma che hanno molte applicazioni, come ad esempio
$int sin^n xdx$
$int (dx)/(a+bx+cx^2)$
essi hanno applicazioni in molti problemi, mentre integrali complessi come quello di Fireball rimangono sterili.
Ciao!
Sono d'accordo, anche se calcolare esplicitamente primitive di funzioni difficili è sempre soddisfacente. 
"cavallipurosangue":
Sono d'accordo, anche se calcolare esplicitamente primitive di funzioni difficili è sempre soddisfacente.
Si c'è una certa soddisfazione!
Mi chiedo ma come faranno Maple e gli altri softwar di integrazione?
Come faranno a trattenersi dalla gioia?
"Platone":
@fireball
Daccordo, se lo hai trovato su un libro vuol dire che si puo' risolvere, ma quelo che volevo dire e' che e' piu' importante saper applicare la matematica piuttosto che risolvere conti difficili (si trattasse anche di trovare lo stratagemma giusto).
Il conto te lo fa anche un computer, ma i teoremi se non li sai aplicare rimani col culo per terra.
E per questo che ritengo che l'attenzione dovrebbe essere concentrata piu' su quest'aspetto.
Sono assolutamente d'accordo, si dovrebbe insistere più su quest'aspetto...
In ogni caso i teoremi credo di saperli applicare!!!
Comunque era un integrale che faceva parte di un appello di Analisi a Ingegneria a Brescia,
e conoscendo la mia prof. me ne capiteranno di questo tipo allo scritto di Analisi I/2, o forse ancora più tosti...
Solo una cosa: puoi cercare di esprimerti in modo un po' più "garbato"?
Perdonami, ma "rimani col culo per terra" è un'espressione proprio brutta.
Non credo esistano regole certe per stabilire in anticipo se un integrale e' esprimibile
o meno in "forma chiusa".Perlomeno io non ne conosco.
Quanto alle preferenze su i vari tipi di integrali su cui sarebbe preferibile
esercitarsi,credo che sia meglio fare un po' di tutto:e' cosi' che si acquista
la necessaria sensibilita'.D'altra parte la circostanza nella quale, nello svolgere
un integrale ,due o piu' termini si elidono (come nel nostro caso) e' piu'
frequente di quanto si possa pensare.
@carlo23
Non riesco ad immaginare che Maple,Derive ,Matlab etc si mettano a ballare
per la gioia di aver risolto un integrale! 
Archimede
o meno in "forma chiusa".Perlomeno io non ne conosco.
Quanto alle preferenze su i vari tipi di integrali su cui sarebbe preferibile
esercitarsi,credo che sia meglio fare un po' di tutto:e' cosi' che si acquista
la necessaria sensibilita'.D'altra parte la circostanza nella quale, nello svolgere
un integrale ,due o piu' termini si elidono (come nel nostro caso) e' piu'
frequente di quanto si possa pensare.
@carlo23
Non riesco ad immaginare che Maple,Derive ,Matlab etc si mettano a ballare
per la gioia di aver risolto un integrale!
Archimede
(Abramowitz and Stegun 1972, p. 360), or the integral
$J_0(z)=(1/pi)*int_{0}^{pi} e^(i*z*cos(theta)) d theta$
Che relazione curiosa e affascinante!
$J_0(z)=(1/pi)*int_{0}^{pi} e^(i*z*cos(theta)) d theta$
Che relazione curiosa e affascinante!
Allora, dato che siamo fuori dagli argomenti trattati ad analisi 1, posto un integrale abbastanza facile. 
[size=200]$\int_{RR}e^{-x^2}dx$[/size]
[size=200]$\int_{RR}e^{-x^2}dx$[/size]
"cavallipurosangue":
Allora, dato che siamo fuori dagli argomenti trattati ad analisi 1, posto un integrale abbastanza facile.
[size=200]$\int_{RR}e^{-x^2}dx$[/size]
è l'integrale di Gauss, un problema già risolto.
Mi chiedo invecese sia risolto lo stesso integrale ma con 4 invece dell'esponente 2.
Ciao, ciao!
Certo lo so che è un integrale famoso, ma penso che non tutti quelli che stanno facendo analisi 1 sappiano che si può calcolare e come lo si fa.
"cavallipurosangue":
Certo lo so che è un integrale famoso, ma penso che non tutti quelli che stanno facendo analisi 1 sappiano che si può calcolare e come lo si fa.
Diciamo che $G$ è l'integrale di Gauss, abbiamo
$G^2=int_(RR) e^(-x^2-y^2) dxdy$
passando in coordinate polari $x=r sin theta$ e $y=r cos theta$, si ha che $theta$ varia tra $0$ e $pi/2$ mentre $r$ varia tra $0$ e infinito.
$G^2=int_0^(pi/2) int_0^infty 2r e^(-r^2(sin^2 theta+cos^2 theta)) d theta d r= int_0^(pi/2) int_0^infty 2r e^(-r^2) d theta d r$
da cui essendo $int 2re^(-r^2) dr=- e^(r^2)$
$G^2= pi $
quindi
$G=sqrt(pi)$
Questa è la dimostrazione di Gauss, ciao!
C'è qualcosa che non mi torna nella tua dimostrazione..
Perchè $\theta$ varia tra 0 e $\pi/2$? Quella che conosco io imposta così:
$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}\rhoe^{-\rho^2}d\rho$
Perchè $\theta$ varia tra 0 e $\pi/2$? Quella che conosco io imposta così:
$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}\rhoe^{-\rho^2}d\rho$
Ah poi
$G^2=\int_{RR^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$
$G^2=\int_{RR^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$
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