Per allenarsi sulle equadiff e non solo
Per quanto riguarda il seguente problema di Cauchy:
$y' = \sin (y)$
$y(0) = (11 \pi)/2$
- ha una ed una sola soluzione massimale?
- in caso di risposta affermativa alla precedente domanda, essa è definita su tutto $RR$?
- sempre se esiste una soluzione massimale, trovarne una espressione analitica (ricordo che l'integrale di $1/\sin (t)$ è immediato, grazie alle cosiddette "formule parametriche")
ciao
$y' = \sin (y)$
$y(0) = (11 \pi)/2$
- ha una ed una sola soluzione massimale?
- in caso di risposta affermativa alla precedente domanda, essa è definita su tutto $RR$?
- sempre se esiste una soluzione massimale, trovarne una espressione analitica (ricordo che l'integrale di $1/\sin (t)$ è immediato, grazie alle cosiddette "formule parametriche")
ciao
Risposte
E' un problema di Cauchy un pò degenere, si limita semplicemente al calcolo di una ...
Per quanto riguarda il dominio, teorema di esistenza ed unicità per Cauchy, dopo un'osservazione, si vince.
Per quanto riguarda il dominio, teorema di esistenza ed unicità per Cauchy, dopo un'osservazione, si vince.
a) che cosa si intende per 'soluzione massimale'?...
b) la domanda lascia intendere vi possano essere più di una di queste 'soluzioni massimali'... è così?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
b) la domanda lascia intendere vi possano essere più di una di queste 'soluzioni massimali'... è così?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Una soluzione locale è detta massimale se non esiste una soluzione locale che la prolunga strettamente.
dopo i post di Tommy, una precisazione.
La mia non è una richiesta di aiuto, ma un invito a proporre soluzioni ai tre quesiti. Alla fine, posterò la "mia" soluzione. Avrei potuto metterlo dentro "Giochi logico-matematici e gara", ma non mi è sembrato il caso. Dopo tutto, è un normale problema di Cauchy.
Già le domande di lupo grigio, alla cui prima Tommy ha risposto (correttamente per quanto mi riguarda), vanno in quella direzione.
Alla seconda domanda di lupo grigio, rispondo che è essenzialmente una questione di "filosofia" degli esercizi o problemi.
Quando si impara qualcosa, servono degli "esercizi" di cui sia garantita (si spera correttamente...) quale sia la soluzione esatta, di modo che uno possa avere conferma che ha appreso correttamente i "trucchi del mestiere".
Ma imparare davvero le cose vuol dire, alla fine, sapere se le risposte date ad un problema sono corrette o no, senza alcun bisogno di una "autorità" esterna che viene a garantirlo.
Rispondendo quindi alla domanda, il fatto che io chieda se il problema ha una ed una sola soluzione massimale, è del tutto neutro rispetto alla risposta. Non lascia ad intendere nulla, non intende suggerire che vi possano essere più soluzioni massimali. Né il contrario
Ultima cosa: non capisco perché Tommy dica che il problema dato è "un po' degenere". In che senso?
buona giornata a tutti
La mia non è una richiesta di aiuto, ma un invito a proporre soluzioni ai tre quesiti. Alla fine, posterò la "mia" soluzione. Avrei potuto metterlo dentro "Giochi logico-matematici e gara", ma non mi è sembrato il caso. Dopo tutto, è un normale problema di Cauchy.
Già le domande di lupo grigio, alla cui prima Tommy ha risposto (correttamente per quanto mi riguarda), vanno in quella direzione.
Alla seconda domanda di lupo grigio, rispondo che è essenzialmente una questione di "filosofia" degli esercizi o problemi.
Quando si impara qualcosa, servono degli "esercizi" di cui sia garantita (si spera correttamente...) quale sia la soluzione esatta, di modo che uno possa avere conferma che ha appreso correttamente i "trucchi del mestiere".
Ma imparare davvero le cose vuol dire, alla fine, sapere se le risposte date ad un problema sono corrette o no, senza alcun bisogno di una "autorità" esterna che viene a garantirlo.
Rispondendo quindi alla domanda, il fatto che io chieda se il problema ha una ed una sola soluzione massimale, è del tutto neutro rispetto alla risposta. Non lascia ad intendere nulla, non intende suggerire che vi possano essere più soluzioni massimali. Né il contrario
Ultima cosa: non capisco perché Tommy dica che il problema dato è "un po' degenere". In che senso?
buona giornata a tutti
Dò un suggerimento per chi non ha voglia (come me...) di integrare $1/(sen(y))$, ma vuol comunque sapere l'andamento qualitativo delle soluzioni; andate a cercare le soluzioni costanti dell'equazione...
Mi posso sbagliare ma Tommy ha voluto dire
che ,cosi' com'e' e con una funzione come sin(y),il problema
e' fin troppo... facile.
karl
che ,cosi' com'e' e con una funzione come sin(y),il problema
e' fin troppo... facile.
karl
"karl":
Mi posso sbagliare ma Tommy ha voluto dire
che ,cosi' com'e' e con una funzione come sin(y),il problema
e' fin troppo... facile.
karl
Può essere che Tommy intendesse dire questo.
Sul "facile": se questo esercizio venisse dato ad un esame di analisi "x" (il corso dove dove si fanno le equadiff, che non sia un corso dedicato alle equadiff) ci sarebbe una strage. Dovuta alla terza domanda.
ciao
Dunque, tanto per cominciare non capisco tanto perché si sia messo per condizione iniziale $y(0)=11/2*pi$ e non $y(0)=-pi/2$. Dal momento che $sin y$ e $sin (y+6*pi)$ hanno lo stesso valore spero non dispiaccia se il problema di Cauchy proposto lo faccio diventare il seguente…
$y’= sin y$
$y(0)= -pi/2$ (1)
La soluzione non presenta particolari difficoltà in quanto è possibile separare le variabili…
$int (dy)/(sin y) = int dx$ -> $ln tan (y/2)= x+c$ ->$tan (y/2)=c*e^x$ ->$y= 2*tan^(-1) (c*e^x)$ (2)
Resta da determinare la costante $c$ ma questo non è un problema… o meglio a me così non pare… Ponendo nella (2) $x=0$ e $y=-pi/2$ si ha…
$-pi/2=2*tan^(-1) c$ -> $c=-1$ (3)
In definitiva la soluzione al problema di Cauchy (1) viene ad essere…
$y=-2*tan^(-1) (e^x)$ (4)
Naturalmente se alla (4) si aggiunge la costante $6*pi$ si ha la soluzione del problema posto all’inizio. A questo punto rispondere alle domande di Patrone non mi pare impresa difficile… o forse c’è qualche trucco?… mah!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y’= sin y$
$y(0)= -pi/2$ (1)
La soluzione non presenta particolari difficoltà in quanto è possibile separare le variabili…
$int (dy)/(sin y) = int dx$ -> $ln tan (y/2)= x+c$ ->$tan (y/2)=c*e^x$ ->$y= 2*tan^(-1) (c*e^x)$ (2)
Resta da determinare la costante $c$ ma questo non è un problema… o meglio a me così non pare… Ponendo nella (2) $x=0$ e $y=-pi/2$ si ha…
$-pi/2=2*tan^(-1) c$ -> $c=-1$ (3)
In definitiva la soluzione al problema di Cauchy (1) viene ad essere…
$y=-2*tan^(-1) (e^x)$ (4)
Naturalmente se alla (4) si aggiunge la costante $6*pi$ si ha la soluzione del problema posto all’inizio. A questo punto rispondere alle domande di Patrone non mi pare impresa difficile… o forse c’è qualche trucco?… mah!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Prova a rispondere a tutte le domande, tranne l'ultima ovviamente, senza trovare la soluzione esplicita.
ciao lupo grigio
avevo già scritto la risposta, ma la batteria del portatile mi ha lasciato...
discpiace eccome. Non si può mica cambiare il valore della variabile di stato (intendo, il valore che essa assume all'"istante" iniziale) come pare e piace...
In realtà, è solo un problema di sintesi nel post, perché vedo che tu poi alla fine ritorni al problema dato. Benissimo. Ogni strada è lecita, purché sia giustificata. Mi piacerebbe vedere una giustificazione di questa procedura.
manca un valore assoluto. Una primitiva è:
$ln |tan (y/2)|$
se il valore asoluto non serve, questo fatto va giustificato
avevo già scritto la risposta, ma la batteria del portatile mi ha lasciato...
"lupo grigio":
Dunque, tanto per cominciare non capisco tanto perché si sia messo per condizione iniziale $y(0)=11/2*pi$ e non $y(0)=-pi/2$. Dal momento che $sin y$ e $sin (y+6*pi)$ hanno lo stesso valore spero non dispiaccia se il problema di Cauchy proposto lo faccio diventare il seguente…
discpiace eccome. Non si può mica cambiare il valore della variabile di stato (intendo, il valore che essa assume all'"istante" iniziale) come pare e piace...
In realtà, è solo un problema di sintesi nel post, perché vedo che tu poi alla fine ritorni al problema dato. Benissimo. Ogni strada è lecita, purché sia giustificata. Mi piacerebbe vedere una giustificazione di questa procedura.
"lupo grigio":
$int (dy)/(sin y) = int dx$ -> $ln tan (y/2)= x+c$ ->$tan (y/2)=c*e^x$ ->$y= 2*tan^(-1) (c*e^x)$ (2)
manca un valore assoluto. Una primitiva è:
$ln |tan (y/2)|$
se il valore asoluto non serve, questo fatto va giustificato
Sì Luca... ora ho capito dove stava il 'trucco'...
L'intento di Patrone era quello di portare il discorso sul cosiddetto 'Teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy', la verifica del quale, nella mentalità dei matematici, dovrebbe precedere la soluzione 'a bruta forza'. Va bene proverò a citare il il teorema sudetto a beneficio degli amanti di 'voli pindarici' e 'caccia alle farfalle'...
Data una funzione continua $f$ definita in $A $, si dice che una $y$ definita in $I$ risolve l'equazione differenziale...
$y'=f(x,y)$ (1)
... se, per ogni $x$ in $I$, $(x,y(x))$ appartiene ad $A$ ed è $y'(x)=f(x,y(x))$. Se $(x_0,y_0)$ appartiene ad $A$, $y$ risolve il problema ai dati iniziali...
$y'=f(x,y)$
$y(x_0)=y_0$ (2)
... se $y$ risolve la (1) ed è $y(x_0)= y_0$.
Vale al riguardo il seguente Teorema...
Siano dati $A$ ed $f$ come da definzione precedente ed $f$ sia localmente Lipschitziana nella variabile $y$. Valgono in questo caso i seguenti enunciati...
a) per ogni dato inziale $(x_0,y_0)$ in $A$ il problema (2) ammette soluzione massimale
b) due soluzioni massimali della (1) che coincidono in un punto sono uguali, per cui il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione massimale
Tutto chiaro ragazzi?... e' ovvio che tutti voi sapete che cosa è una $f$ localmente Lipschitziana nella variabile $y$... da un pò di tempo è entrata a far parte del programma dell'asilo
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
L'intento di Patrone era quello di portare il discorso sul cosiddetto 'Teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy', la verifica del quale, nella mentalità dei matematici, dovrebbe precedere la soluzione 'a bruta forza'. Va bene proverò a citare il il teorema sudetto a beneficio degli amanti di 'voli pindarici' e 'caccia alle farfalle'...
Data una funzione continua $f$ definita in $A $, si dice che una $y$ definita in $I$ risolve l'equazione differenziale...
$y'=f(x,y)$ (1)
... se, per ogni $x$ in $I$, $(x,y(x))$ appartiene ad $A$ ed è $y'(x)=f(x,y(x))$. Se $(x_0,y_0)$ appartiene ad $A$, $y$ risolve il problema ai dati iniziali...
$y'=f(x,y)$
$y(x_0)=y_0$ (2)
... se $y$ risolve la (1) ed è $y(x_0)= y_0$.
Vale al riguardo il seguente Teorema...
Siano dati $A$ ed $f$ come da definzione precedente ed $f$ sia localmente Lipschitziana nella variabile $y$. Valgono in questo caso i seguenti enunciati...
a) per ogni dato inziale $(x_0,y_0)$ in $A$ il problema (2) ammette soluzione massimale
b) due soluzioni massimali della (1) che coincidono in un punto sono uguali, per cui il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione massimale
Tutto chiaro ragazzi?... e' ovvio che tutti voi sapete che cosa è una $f$ localmente Lipschitziana nella variabile $y$... da un pò di tempo è entrata a far parte del programma dell'asilo
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non c'è nessun trucco che io intendevo; come tu ben sai (spero) è praticamente impossibile risolvere esplicitamente un'equazione differenziale, a meno di casi semplici.
Ne segue che il suddetto Teorema ha un'importanza vitale per la teoria delle ode.
Sta di fatto che ancora non me lo hai applicato, e ancora non mi hai risolto l'esercizio dato da Fioravante senza passare attraverso la soluzione esplicita; in questi passaggi si vede della vera Matematica.
Ne segue che il suddetto Teorema ha un'importanza vitale per la teoria delle ode.
Sta di fatto che ancora non me lo hai applicato, e ancora non mi hai risolto l'esercizio dato da Fioravante senza passare attraverso la soluzione esplicita; in questi passaggi si vede della vera Matematica.
lupo grigio, solo un breve commento
no, le difficoltà dell'esercizio non stanno particolarmente nella "caccia alle farfalle"
Non è su questo che si farebbe strage ad un esame.
E' vero che ho l'imprinting da matematico, ma non sono (spero) monocorde in quanto a gusti "matematici"
Mi fa piacere comunque che sta avvenendo quello che auspicavo.
Una piacevole discussione!
ciao
no, le difficoltà dell'esercizio non stanno particolarmente nella "caccia alle farfalle"
Non è su questo che si farebbe strage ad un esame.
E' vero che ho l'imprinting da matematico, ma non sono (spero) monocorde in quanto a gusti "matematici"
Mi fa piacere comunque che sta avvenendo quello che auspicavo.
Una piacevole discussione!
ciao
caro Patrone
per quello che riguarda la ‘critica ’ alla ‘soluzione formale’ del problema da te proposto, ti dirò che ricordavo ancora la seguente ‘nota’ a pag. 541 del testo di Analisi Matematica di Università… vero e proprio ‘cimelio del paleolitico’…
Facciamo presente, anche per il seguito, che quando nell’integrazione delle equazioni differenziali compare la funzione logaritmo, talvolta per semplicità nel suo argomento si omette il segno di valore assoluto perchè, in ultima analisi, si deve verificare per quali valori delle variabili l’espressione ottenuta è effettivamente integrale dell’equazione differenziale…
Pensa un pò, caro Patrone, che a distanza di oltre trent’anni mi ricordo ancora di questa ‘nota’… Allora però erano altri tempi…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
per quello che riguarda la ‘critica ’ alla ‘soluzione formale’ del problema da te proposto, ti dirò che ricordavo ancora la seguente ‘nota’ a pag. 541 del testo di Analisi Matematica di Università… vero e proprio ‘cimelio del paleolitico’…
Facciamo presente, anche per il seguito, che quando nell’integrazione delle equazioni differenziali compare la funzione logaritmo, talvolta per semplicità nel suo argomento si omette il segno di valore assoluto perchè, in ultima analisi, si deve verificare per quali valori delle variabili l’espressione ottenuta è effettivamente integrale dell’equazione differenziale…
Pensa un pò, caro Patrone, che a distanza di oltre trent’anni mi ricordo ancora di questa ‘nota’… Allora però erano altri tempi…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
@lupo grigio
insomma, ci sono argomenti "scottanti"...
per capirci, per me quello che citi (a memoria??? spero di no, sennò schiatto all'istante per l'invidia) è una saggia osservazione, ma per me il punto è provarne la correttezza.
Spero che tu mi creda se dico che l'operazione di "togliere il valore assoluto" (che capita frequentemente quando si risolvono le eqauzioni a variabili separabili) ha un punto delicato che ben raramente viene notato dallo "studente quadratico medio"
se il thread va avanti così bene, alla fine scriverò un trattatello da "pubblicare" in rete...
anzi, magari ne possiamo scrivere uno collettivo, con "clash" di diversi punti di vista, di diverse sottolineature
se tu e Luca ci state, abbamo una bellissima "triangolazione"
dove facciamo come Osborne e Rubinstein nel loro stupendo libro di TdG, i quali di tanto in tanto dicono esplicitamente dove sono in disaccordo e perché
ciao
insomma, ci sono argomenti "scottanti"...
per capirci, per me quello che citi (a memoria??? spero di no, sennò schiatto all'istante per l'invidia) è una saggia osservazione, ma per me il punto è provarne la correttezza.
Spero che tu mi creda se dico che l'operazione di "togliere il valore assoluto" (che capita frequentemente quando si risolvono le eqauzioni a variabili separabili) ha un punto delicato che ben raramente viene notato dallo "studente quadratico medio"
se il thread va avanti così bene, alla fine scriverò un trattatello da "pubblicare" in rete...
anzi, magari ne possiamo scrivere uno collettivo, con "clash" di diversi punti di vista, di diverse sottolineature
se tu e Luca ci state, abbamo una bellissima "triangolazione"
dove facciamo come Osborne e Rubinstein nel loro stupendo libro di TdG, i quali di tanto in tanto dicono esplicitamente dove sono in disaccordo e perché
ciao
Beh, presto fatto: se prendo l'equazione $y'=yx$ con dato $y(0)=-1$, allora faccio $(y')/y=x$ da cui $log (y)=x^2/2+c$, e quindi $y=e^(x^2/2+c)$ e tutte le soluzioni sono positive? con dato iniziale negativo?
Sbagliato caro Luca!... La soluzione corretta è la seguente...
Si pone...
$y'=yx$
$y(0)=-1$ (1)
e si opera così...
$(y')/y=x$ -> $ln y=x^2/2+ln c$ -> $y=c*e^(x^2/2)$ (2)
Con la condizione iniziale è $c=-1$ e pertanto la soluzione del problema è...
$y=-e^(x^2/2)$ (3)
L'errore da te fatto è stato seguire la mia strada senza accorgerti [neanche Patrone se ne era accorto...] che ho scritto $c$ in luogo di $ln c$... cose che capitano...
Quanto alla 'proposta' di Patrone sarei ben lieto di accettarla... il guaio è che da domani sono in ferie e mi attende la montagna...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Si pone...
$y'=yx$
$y(0)=-1$ (1)
e si opera così...
$(y')/y=x$ -> $ln y=x^2/2+ln c$ -> $y=c*e^(x^2/2)$ (2)
Con la condizione iniziale è $c=-1$ e pertanto la soluzione del problema è...
$y=-e^(x^2/2)$ (3)
L'errore da te fatto è stato seguire la mia strada senza accorgerti [neanche Patrone se ne era accorto...] che ho scritto $c$ in luogo di $ln c$... cose che capitano...
Quanto alla 'proposta' di Patrone sarei ben lieto di accettarla... il guaio è che da domani sono in ferie e mi attende la montagna...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Beh, hai solo rigirato la frittata per far cadere il mio errore.
Sta di fatto che scrivi delle cose senza senso: scrivi $log y$ quando la soluzione è localmente negativa attorno all'istante iniziale.
Sta di fatto che scrivi delle cose senza senso: scrivi $log y$ quando la soluzione è localmente negativa attorno all'istante iniziale.
Ma come caro Luca?... ancora non ti hanno spiegato che la funzione $f(z)=ln z$ è definita ovunque salvo che in $z=0$?... non prendertela comunque, meglio tardi che mai!...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Veramente stiamo lavorando in $\RR$ e non in $\CC$; nel nostro caso il logaritmo è una funzione definita su $(0,+\infty)$, per cui hai scritto solo delle bestialità, che poi il risultato torni correttamente non importa.
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