Passaggio sotto il segno di integrale
Salve ragazzi,
sto studiando per l'esame di analisi 2, e mi sono in battuto con il passaggio al limite sotto il segno di integrale, e ricordo che il prof disse che la condizione che la successione converga uniformente è una condizione troppo forte. Qual è la condizione più debole?
Grazie!
sto studiando per l'esame di analisi 2, e mi sono in battuto con il passaggio al limite sotto il segno di integrale, e ricordo che il prof disse che la condizione che la successione converga uniformente è una condizione troppo forte. Qual è la condizione più debole?
Grazie!
Risposte
Prova a mandargli una e-mail. Io non saprei risponderti; sono curioso cionondimeno.
P.S.: Potrebbe essere che tu ti stia confondendo con l'ipotesi che tutte le $f_n$ siano continue (che è una condizione più forte rispetto a richiedere che siano integrabili)?
Oppure con il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata...
P.S.: Potrebbe essere che tu ti stia confondendo con l'ipotesi che tutte le $f_n$ siano continue (che è una condizione più forte rispetto a richiedere che siano integrabili)?
Oppure con il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata...
se non ricordo male per poter fare il passaggio del limite sotto il segno di integrale è necessaria la proprietà di convergenza uniforme nell'intervallo di definizione. La più debole credo si riferisca alla convergenza puntuale
Che io sappia, una condizione più debole non c'è... C'è poco da fare, è una limitazione intrinseca dell'integrale di Riemann.
Anzi, dirò di più: è uno dei motivi - per così dire - più importanti che ha portato a una revisione dei concetti sull'integrazione, revisione sfociata nella nascita di un nuovo modello di integrazione, che ingloba quello secondo Riemann. Mi riferisco, ovviamente, all'integrale di Lebesgue.
Tra le altre sue notevoli proprietà, l'integrale di Lebesgue ha il pregio di "comportarsi bene", di essere compatibile con il passaggio al limite. E' decisamente più maneggevole rispetto a quello di Riemann in circostanze del genere.
Si vedano ad esempio, i teoremi della convergenza dominata o quello di Beppo- Levi.
Probabilmente, il tuo professore alludeva a questioni simili.
@ Elwood:
Anzi, dirò di più: è uno dei motivi - per così dire - più importanti che ha portato a una revisione dei concetti sull'integrazione, revisione sfociata nella nascita di un nuovo modello di integrazione, che ingloba quello secondo Riemann. Mi riferisco, ovviamente, all'integrale di Lebesgue.
Tra le altre sue notevoli proprietà, l'integrale di Lebesgue ha il pregio di "comportarsi bene", di essere compatibile con il passaggio al limite. E' decisamente più maneggevole rispetto a quello di Riemann in circostanze del genere.
Si vedano ad esempio, i teoremi della convergenza dominata o quello di Beppo- Levi.
Probabilmente, il tuo professore alludeva a questioni simili.
@ Elwood:
Beh, ci sono diversi teoremi che assicurano la possibilità di passare al limite sotto il segno d'integrale in ipotesi più deboli della convergenza uniforme degli integrandi.
Ad esempio, un teorema di convergenza dominata vale anche per l'integrale di Riemann; tuttavia, per quest'ultimo integrale, si deve necessariamente assumere come ipotesi che la funzione limite sia integrabile secondo Riemann mentre tale ipotesi non è necessaria per l'integrale di Lebesgue...
Detto meglio, il teorema di convergenza dominata per l'integrale di Riemann è il seguente:
Tale risultato è anche chiamato teorema di convergenza limitata di Arzelà.
Se si confronta il precedente enunciato con il corrispettivo relativo all'integrale di Lebesgue:
balza subito all'occhio che l'ipotesi d'integrabilità (A) nel primo teorema diventa una tesi del secondo; quindi il teorema di convergenza limitata "contiene" un criterio di integrabilità nel caso dell'integrale di Lebesgue, ma non nel caso dell'integrale di Riemann.
Questa, se vogliamo dirla tutta, è la fondamentale differenza tra i due tipi d'integrale: mentre l'integrabilità secondo Lebesgue si conserva (sotto condizioni deboli) nel passaggio al limite, ciò non avviene per l'integrabilità secondo Riemann.
Valga il seguente, classico controesempio.
Sia \((r_n)\) un'enumerazione dei razionali in \([0,1]\); per ogni indice \(N\) poniamo:
\[
D_N(x):=\begin{cases}
0 &\text{, se } x\in \{r_1,\ldots ,r_N\}\\
1 &\text{, se } x\in [0,1]\setminus \{r_1,\ldots ,r_N\}\; ;
\end{cases}
\]
è molto semplice constatare che ogni \(D_N\) è integrabile secondo Riemann in \([0,1]\) e che è soddisfatta l'ipotesi (B) del teorema di Arzelà (con \(M=1\)).
Tuttavia la successione \((D_N)\) converge puntualmente alla fetentissima funzione di Dirichlet:
\[
D(x):=\begin{cases}
0 &\text{, se } x\in [0,1]\cap \mathbb{Q}\\
1 &\text{, se } x\in [0,1]\setminus \mathbb{Q}\; ,
\end{cases}
\]
la quale non è integrabile secondo Riemann in \([0,1]\).
Ad esempio, un teorema di convergenza dominata vale anche per l'integrale di Riemann; tuttavia, per quest'ultimo integrale, si deve necessariamente assumere come ipotesi che la funzione limite sia integrabile secondo Riemann mentre tale ipotesi non è necessaria per l'integrale di Lebesgue...
Detto meglio, il teorema di convergenza dominata per l'integrale di Riemann è il seguente:
Siano \(f_n:[a,b]\to \mathbb{R}\) funzioni integrabili secondo Riemann.
Se:
(A) la successione \((f_n)\) converge puntualmente verso una funzione \(f\) integrabile secondo Riemann in \([a,b]\);
(B) esiste una costante \(M\geq 0\) tale che, per ogni \(n\in \mathbb{N}\), \(|f_n(x)|\leq M\) per ogni \(x\in [a,b]\);
allora risulta:
(C) \(\lim_n \int_a^b |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x =0\).
Inoltre, è lecito passare al limite sotto il segno d'integrale per la successione \((f_n)\), cioè vale l'uguaglianza:
(D) \(\lim_n \int_a^b f_n(x)\ \text{d} x=\int_a^b f(x)\ \text{d} x\).
Tale risultato è anche chiamato teorema di convergenza limitata di Arzelà.
Se si confronta il precedente enunciato con il corrispettivo relativo all'integrale di Lebesgue:
Siano \(f_n:[a,b]\to \mathbb{R}\) integrabili secondo Lebesgue.
Se:
(B) esiste una costante \(M\geq 0\) tale che, per ogni \(n\in \mathbb{N}\), \(|f_n(x)|\leq M\) per ogni \(x\in [a,b]\);
allora risulta:
(A) la successione \((f_n)\) converge puntualmente verso una funzione \(f\) integrabile secondo Lebesgue in \([a,b]\);
(C) \(\lim_n \int_a^b |f_n-f|\ \text{d} \mathcal{L}^1 =0\).
Inoltre, è lecito passare al limite sotto il segno d'integrale per la successione \((f_n)\), cioè vale l'uguaglianza:
(D) \(\lim_n \int_a^b f_n\ \text{d} \mathcal{L}^1 =\int_a^b f\ \text{d} \mathcal{L}^1\).
balza subito all'occhio che l'ipotesi d'integrabilità (A) nel primo teorema diventa una tesi del secondo; quindi il teorema di convergenza limitata "contiene" un criterio di integrabilità nel caso dell'integrale di Lebesgue, ma non nel caso dell'integrale di Riemann.
Questa, se vogliamo dirla tutta, è la fondamentale differenza tra i due tipi d'integrale: mentre l'integrabilità secondo Lebesgue si conserva (sotto condizioni deboli) nel passaggio al limite, ciò non avviene per l'integrabilità secondo Riemann.
Valga il seguente, classico controesempio.
Sia \((r_n)\) un'enumerazione dei razionali in \([0,1]\); per ogni indice \(N\) poniamo:
\[
D_N(x):=\begin{cases}
0 &\text{, se } x\in \{r_1,\ldots ,r_N\}\\
1 &\text{, se } x\in [0,1]\setminus \{r_1,\ldots ,r_N\}\; ;
\end{cases}
\]
è molto semplice constatare che ogni \(D_N\) è integrabile secondo Riemann in \([0,1]\) e che è soddisfatta l'ipotesi (B) del teorema di Arzelà (con \(M=1\)).
Tuttavia la successione \((D_N)\) converge puntualmente alla fetentissima funzione di Dirichlet:
\[
D(x):=\begin{cases}
0 &\text{, se } x\in [0,1]\cap \mathbb{Q}\\
1 &\text{, se } x\in [0,1]\setminus \mathbb{Q}\; ,
\end{cases}
\]
la quale non è integrabile secondo Riemann in \([0,1]\).
Ragazzi penso che il prof si riferisse a quanto detto da Gugo!
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
Alcuni riferimenti bibliografici per chi fosse interessato alla questione, tratti da uno scambio di PM tra me e Mrhaha.
Buona lettura.
"gugo82":
Inoltre, di dimostrazioni del teorema di Arzelà ce ne sono diverse sul mercato; una più o meno semplice è questa qui:
[*:zd8ct3c7] N. DE SILVA, A Concise, Elementary Proof of Arzelà's Bounded Convergence Theorem, Amer. Math. Monthly, v. 117, n. 10 (2010), pp. 918-920,[/*:m:zd8ct3c7][/list:u:zd8ct3c7]
in cui si usano solamente la definizione di integrale di Riemann ed un teoremino fatto apposta per l'occasione.
Se non erro, altre dimostrazioni usano il teorema di Vitali-Lebesgue (che io ho visto in Analisi I, ai miei tempi, ma non so se tu l'hai mai incontrato).
Un articolo in cui viene un po' approfondito il discorso del passaggio al limite sotto integrale è:
[*:zd8ct3c7] F. CUNNINGHAM, jr., Taking Limits Under Integral Sign, Math. Magazine, v. 40, n. 4 (1967), pp. 179-186;[/*:m:zd8ct3c7][/list:u:zd8ct3c7]
in particolare vi si dice che proprio il classico teorema di convergenza dominata di Lebesgue valido per l'integrale di Lebesgue vale anche per l'integrale di Riemann, a patto di assumere come ipotesi l'integrabilità secondo Riemann della funzione limite (cosa che non serve per l'integrale di Lebesgue).
Buona lettura.
Esatto.
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