Passaggio oscuro.
Ciao a tutti,
Questo è un passaggio che ho trovato mentre studiavo fisica, ma rimane comunque qualcosa di prettamente matematico. Il professare parte da:
$k_z=sqrt(omega^2*epsilon*mu_0-omega_c^2*epsilon*mu_0)$
con
$k=omega*sqrt(epsilon_0*mu_0*epsilon^{\prime})$ e $k_c=omega_c*sqrt(epsilon_0*mu_0*epsilon^{\prime})$ e $epsilon=epsilon^{\prime}-j*epsilon^('')$
E dicendo che $((epsilon^('')*k^2)/(epsilon^{\prime})) $molto minore di$ |k^2-k_c^2|$
conclude così:
$k_z=omega*sqrt(epsilon_0*mu_0*epsilon^{\prime})*sqrt(1-omega_c^2/omega^2)-j*(epsilon^('')*k^2)/(2*k*epsilon^{\prime}*sqrt(1-omega_c^2/omega^2))$
Qualcuno è in grado di illuminarmi sui passaggi effettuati? Io dopo vari tentativi purtroppo non ci sono riuscito... l'unica cosa che mi è venuta in mente è che possa aver usato un qualche sviluppo di approssimazione.
Questo è un passaggio che ho trovato mentre studiavo fisica, ma rimane comunque qualcosa di prettamente matematico. Il professare parte da:
$k_z=sqrt(omega^2*epsilon*mu_0-omega_c^2*epsilon*mu_0)$
con
$k=omega*sqrt(epsilon_0*mu_0*epsilon^{\prime})$ e $k_c=omega_c*sqrt(epsilon_0*mu_0*epsilon^{\prime})$ e $epsilon=epsilon^{\prime}-j*epsilon^('')$
E dicendo che $((epsilon^('')*k^2)/(epsilon^{\prime})) $molto minore di$ |k^2-k_c^2|$
conclude così:
$k_z=omega*sqrt(epsilon_0*mu_0*epsilon^{\prime})*sqrt(1-omega_c^2/omega^2)-j*(epsilon^('')*k^2)/(2*k*epsilon^{\prime}*sqrt(1-omega_c^2/omega^2))$
Qualcuno è in grado di illuminarmi sui passaggi effettuati? Io dopo vari tentativi purtroppo non ci sono riuscito... l'unica cosa che mi è venuta in mente è che possa aver usato un qualche sviluppo di approssimazione.
Risposte
Quando spiegherai il contesto in cui si inserisce questo "passaggio oscuro", forse potremo aiutarti.
Credevo fosse superfluo dilungarsi su cosa ha generato tali equazioni, ma lo spiego ben volentieri. Si tratta di ricavare il coeficente di propagazione e quello di attenuazione di una guida d'onda rettangolare con mezzo interno reale (formato quindi da una parte reale ed una immaginaria).
Questi due coeficenti sono rispettivamente la parte reale e quella immaginaria del modulo del vettore di propagazione che è appunto $k_z$. Quindi il professore partendo dall'equazione iniziale che vi ho esposto è arrivato a suddividere le due parti (immaginaria e reale) con i presupposti che ho indicato.
Spero di non essere stato troppo machiavellico, se c'è bisogno di aggiungere qualcosa basta chiedere. Quello che non mi convince è appunto tutto quello che sta in mezzo non saprei proprio da dove incominciare.
Questi due coeficenti sono rispettivamente la parte reale e quella immaginaria del modulo del vettore di propagazione che è appunto $k_z$. Quindi il professore partendo dall'equazione iniziale che vi ho esposto è arrivato a suddividere le due parti (immaginaria e reale) con i presupposti che ho indicato.
Spero di non essere stato troppo machiavellico, se c'è bisogno di aggiungere qualcosa basta chiedere. Quello che non mi convince è appunto tutto quello che sta in mezzo non saprei proprio da dove incominciare.
E' meno difficile di quanto sembri. Ha semplicemente sfruttato il fatto che:
[tex]\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}[/tex]
per [tex]x \ll 1[/tex].
Comunque fai attenzione:
[tex]\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r=\epsilon_0(\epsilon'-j\epsilon'')[/tex]
[tex]\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}[/tex]
per [tex]x \ll 1[/tex].
Comunque fai attenzione:
[tex]\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r=\epsilon_0(\epsilon'-j\epsilon'')[/tex]
Grazie per la risposta.. immaginavo fosse qualcosa di assolutamente banale e si, grazie dell'osservazione. Ho copiato male al momento della creazione del post!
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