Passaggio dimostrazione sviluppo binomiale
Sto studiando sulle dispense scritte dal professore, la dimostrazione dello sviluppo binomiale.
ed in particolare non capisco il seguente passaggio:
In particolare non capisco da dove venga fuori
$a^{n}$
e come mai gli indici delle sommatorie sono stati modificati
ed in particolare non capisco il seguente passaggio:
In particolare non capisco da dove venga fuori
$a^{n}$
e come mai gli indici delle sommatorie sono stati modificati
Risposte
$a^n$ viene fuori selezionando $n-1$ nella prima sommatoria: infatti, al rigo successivo, la sommatoria va da zero a $n-2$ e non $n-1$- Un ragionamento simile è fatto per ricavare il $b^n$, dove nella seconda sommatoria viene scelto l'indice $k=0$ (e la stessa sommatoria al rigo successivo pare da $k=1$).
Infine, nell'ultima riga, l'indice $k$ della prima sommatoria viene sostituito con l'indice $k-1$: questo comporta il fatto che, dovendo essere pari a zero il primo valore di tali indici, si ha $k-1=0$ e quindi lo "shifting" dell'indice a $k=1$ come valore di partenza.
Infine, nell'ultima riga, l'indice $k$ della prima sommatoria viene sostituito con l'indice $k-1$: questo comporta il fatto che, dovendo essere pari a zero il primo valore di tali indici, si ha $k-1=0$ e quindi lo "shifting" dell'indice a $k=1$ come valore di partenza.
"ciampax":
Infine, nell'ultima riga, l'indice $k$ della prima sommatoria viene sostituito con l'indice $k-1$: questo comporta il fatto che, dovendo essere pari a zero il primo valore di tali indici, si ha $k-1=0$ e quindi lo "shifting" dell'indice a $k=1$ come valore di partenza.
Forse intendevi la seconda sommatoria? Come mai deve essere pari a zero?
No, intendevo proprio la prima, guarda bene cosa c'è scritto nell'immagine che hai postato.
Ok ora ci sono. Tuttavia non capisco la motivazione che ha portato a alla sostituzione seguente
"ciampax":
Infine, nell'ultima riga, l'indice $k$ della prima sommatoria viene sostituito con l'indice $k-1$: questo comporta il fatto che, dovendo essere pari a zero il primo valore di tali indici, si ha $k-1=0$ e quindi lo "shifting" dell'indice a $k=1$ come valore di partenza.
Ehi ciao ho visto la discussione.. Mi riferisco alla tua ultima domanda: all'ultimo passaggio se ci fai caso è stata cambiata solo la prima delle due sommatorie e ti invito a fare una prova: all'ultimo passaggio vai a sostituire nella prima sommatoria il primo valore di k, quello che ha suscitato il tuo dubbio, e cioè k = 1, mentre nel passaggio precedente, quello in cui la sommatoria partiva da k = 0, vai a sostituire il primo valore di k, e cioè in questo caso k = 0... Vedrai che i risultati sono uguali perché così deve essere, noi volevamo lasciare tutto immutato. Spero di esserti stato d'aiuto. 
Facciamo una cosa: riscrivo tutto da capo e man mano ti spiego i passaggi:
$$(a+b)^n=(a+b)^{n-1}(a+b)=$$
usando l'ipotesi induttiva
$$=\left(\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^k b^{n-k-1}\right)(a+b)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^{k+1} b^{n-k-1}+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^k b^{n-k}=$$
estraggo l'ultimo termine dalla prima sommatoria (con $k=n-1$) e il primo dalla seconda (con $k=0$)
$$=a^n+\sum_{k=0}^{n-2}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^{k+1} b^{n-k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^k b^{n-k}+b^n=$$
eseguo lo shifting $k\to h-1$ nella prima sommatoria, in modo che $k=0\to h=1,\ k=n-2\to h=n-1$ e rinomino in $h$ gli indici $k$ della seconda sommatoria
$$=a^n+\sum_{h=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ h-1\end{array}\right)\ a^{h} b^{n-h}+\sum_{h=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ h\end{array}\right)\ a^h b^{n-h}+b^n=$$
raccolgo ora i termini delle sommatorie (che, con le posizioni fatte in precedenza, coprono lo stesso intervallo di indici)
$$=a^n+\sum_{h=1}^{n-1}\left[\left(\begin{array}{c} n-1\\ h-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n-1\\ h\end{array}\right)\right] a^h b^{n-h}+b^n=$$
a questo punto uso una nota identità per i coefficienti binomiali per riscrivere il termine tra parentesi quadre
$$=a^n+\sum_{h=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n\\ h\end{array}\right)\ a^h b^{n-h}+b^n=$$
e osservo ora che se nel coefficiente binomiale usassi i valori $h=0,\ h=n$ otterrei il valore 1, esattamente il coefficiente dei termini $a^n,\ b^n$ che restano fuori dalla parentesi e che provengono dal termine $a^h b^{n-h}$ esattamente con tali scelte per gli indici $h$, e quindi in definitiva posso scrivere
$$=\sum_{h=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ h\end{array}\right)\ a^h b^{n-h}$$
che completa la dimostrazione.
$$(a+b)^n=(a+b)^{n-1}(a+b)=$$
usando l'ipotesi induttiva
$$=\left(\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^k b^{n-k-1}\right)(a+b)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^{k+1} b^{n-k-1}+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^k b^{n-k}=$$
estraggo l'ultimo termine dalla prima sommatoria (con $k=n-1$) e il primo dalla seconda (con $k=0$)
$$=a^n+\sum_{k=0}^{n-2}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^{k+1} b^{n-k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ k\end{array}\right)\ a^k b^{n-k}+b^n=$$
eseguo lo shifting $k\to h-1$ nella prima sommatoria, in modo che $k=0\to h=1,\ k=n-2\to h=n-1$ e rinomino in $h$ gli indici $k$ della seconda sommatoria
$$=a^n+\sum_{h=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ h-1\end{array}\right)\ a^{h} b^{n-h}+\sum_{h=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1\\ h\end{array}\right)\ a^h b^{n-h}+b^n=$$
raccolgo ora i termini delle sommatorie (che, con le posizioni fatte in precedenza, coprono lo stesso intervallo di indici)
$$=a^n+\sum_{h=1}^{n-1}\left[\left(\begin{array}{c} n-1\\ h-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n-1\\ h\end{array}\right)\right] a^h b^{n-h}+b^n=$$
a questo punto uso una nota identità per i coefficienti binomiali per riscrivere il termine tra parentesi quadre
$$=a^n+\sum_{h=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n\\ h\end{array}\right)\ a^h b^{n-h}+b^n=$$
e osservo ora che se nel coefficiente binomiale usassi i valori $h=0,\ h=n$ otterrei il valore 1, esattamente il coefficiente dei termini $a^n,\ b^n$ che restano fuori dalla parentesi e che provengono dal termine $a^h b^{n-h}$ esattamente con tali scelte per gli indici $h$, e quindi in definitiva posso scrivere
$$=\sum_{h=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ h\end{array}\right)\ a^h b^{n-h}$$
che completa la dimostrazione.
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