Passaggi Algebrici Limiti.
Molte volte diamo per scontata la sufficiente acquisizione dei concetti teorici riguardo gli argomenti da noi affrontati, ma come spesso accade nell'atto pratico sorgono problemi pur quanto di origine "elementare" che ci danno "problemi"
Studiata la parte teorica "
"...
Stavo incominciando a fare esercizi a non finire sui limiti, per esercitarmi... e per rinferscarmi un pò di passaggi pratici di algebra.
In particolare esercitandomi nel confronto tra infiniti ... precisamente potenze, mi sono accorto che non mi ricordo alcuni passaggi "che dovrei sapere ad occhi chiusi" e che non so...
es: $\lim_{x \to \+infty} (2x^3-x^2+3) = \lim_{x \to \+infty}$ $2x^3= +infty $ Come tutti sappiamo
Mi direte dove sta allora il prolema ?... in effetti c'è un passaggio che ho omesso che è quello $\lim_{x \to \+infty}$ $2x^3(1-1/(2x)+3/(2x)^3)$ 2x tende a più infinito e il polinomio a 1.
In quasi in tutti i limiti che ho visto c'è questo passaggio algebrico che non sto ricordando...
Potete suggerirmi di cosa si tratta in modo da riprendere questa lacuna ?
grazie
lo so la richiesta è molto ma molto elementare....
Cordiali saluti.
Studiata la parte teorica "
"...Stavo incominciando a fare esercizi a non finire sui limiti, per esercitarmi... e per rinferscarmi un pò di passaggi pratici di algebra.
In particolare esercitandomi nel confronto tra infiniti ... precisamente potenze, mi sono accorto che non mi ricordo alcuni passaggi "che dovrei sapere ad occhi chiusi" e che non so...
es: $\lim_{x \to \+infty} (2x^3-x^2+3) = \lim_{x \to \+infty}$ $2x^3= +infty $ Come tutti sappiamo
Mi direte dove sta allora il prolema ?... in effetti c'è un passaggio che ho omesso che è quello $\lim_{x \to \+infty}$ $2x^3(1-1/(2x)+3/(2x)^3)$ 2x tende a più infinito e il polinomio a 1.
In quasi in tutti i limiti che ho visto c'è questo passaggio algebrico che non sto ricordando...
Potete suggerirmi di cosa si tratta in modo da riprendere questa lacuna ?
grazie
lo so la richiesta è molto ma molto elementare....
Cordiali saluti.
Risposte
se ho capito bene , ciò che non ricordi è che se il denominatore di una frazione tende ad infinito, la frazione tende a zero
"mat100":
In quasi in tutti i limiti che ho visto c'è questo passaggio algebrico che non sto ricordando...
Non mi è molto chiara questa frase...
Normalmente, raccogliendo $x$ dovresti scrivere:
$f(x) = 2x^3 - x^2 + 3 iff f(x) = 2x^3 ( 1 - 1/(2x) + 3/(2x^3)) , x != 0$
Essendo il limite per $x -> +oo$, puoi star certo che $x != 0$, e quindi è lecito:
$lim_(x->+oo) 2x^3 - x^2 + 3 iff lim_(x->+oo) 2x^3 ( 1 - 1/(2x) + 3/(2x^3))$
"Nicole93":
se ho capito bene , ciò che non ricordi è che se il denominatore di una frazione tende ad infinito, la frazione tende a zero
in questo caso tende a uno attenzione.
Cmq seneca... il dubbio era riguardo appunto il raccoglimento di $x$ non ricordo come si passa dal polinomio $2x^3-x^2+3$ a $ (1-1/(2x)+3/(2x^3) ) $ ??
la parte teorica di ciò che tende l'ho data per scontata nel post iniziale.
Mentre la frase che non ti è molto chiara è riferita specificamente alla visura di esercizi guidati sui limiti che da poco ho iniziato, dove ho notato che ci sono passaggi o trucchetti come è amabile chiamarli di algebra! tutto quì
Grazie
tende a + infinito. anche senza ricorrere al raccoglimento di 2x^3 , x^3 è infinito di ordine superiore agli altri, quindi diventa $lim_{x to +infty} 2x^3 + o(x^3) = + infty $
non capisco.. non ti è chairo il raccoglimento?
non capisco.. non ti è chairo il raccoglimento?
Ma non mi sembra che ci sia molto da ricordare.
Semplicemente raccogli $2x^3$, il che equivale a mettere in evidenza $2x^3$ e a dividere tutto per $2x^3$.
Quindi se hai $2x^3-x^2+3$, raccogliendo $2x^3$ hai:
$2x^3*(2x^3-x^2+3)/(2x^3)=2x^3*((2x^3)/(2x^3)-(x^2)/(2x^3)+3/(2x^3))=2x^3*(1-(1)/(2x)+3/(2x^3))$
Ti è più chiaro ora?
Ciao
Semplicemente raccogli $2x^3$, il che equivale a mettere in evidenza $2x^3$ e a dividere tutto per $2x^3$.
Quindi se hai $2x^3-x^2+3$, raccogliendo $2x^3$ hai:
$2x^3*(2x^3-x^2+3)/(2x^3)=2x^3*((2x^3)/(2x^3)-(x^2)/(2x^3)+3/(2x^3))=2x^3*(1-(1)/(2x)+3/(2x^3))$
Ti è più chiaro ora?
Ciao
"misanino":
Ma non mi sembra che ci sia molto da ricordare.
Semplicemente raccogli $2x^3$, il che equivale a mettere in evidenza $2x^3$ e a dividere tutto per $2x^3$.
Quindi se hai $2x^3-x^2+3$, raccogliendo $2x^3$ hai:
$2x^3*(2x^3-x^2+3)/(2x^3)=2x^3*((2x^3)/(2x^3)-(x^2)/(2x^3)+3/(2x^3))=2x^3*(1-(1)/(2x)+3/(2x^3))$
Ti è più chiaro ora?
Ciao
che figuraccia XD!
Cmq vero si divide tutto per il termine che si raccoglie!!
Thanks 
Può capitare, dai.
A volte siamo così concentrati a risolvere problemi difficili che ci dimentichiamo le cose più semplici...
Sono contento che ora ti sia tutto chiaro.
Ciao
A volte siamo così concentrati a risolvere problemi difficili che ci dimentichiamo le cose più semplici...
Sono contento che ora ti sia tutto chiaro.
Ciao
"misanino":
Può capitare, dai.
A volte siamo così concentrati a risolvere problemi difficili che ci dimentichiamo le cose più semplici...
Sono contento che ora ti sia tutto chiaro.
Ciao
anche perchè "sono all'inizio" per prepararmi all'esame almeno entro marzo.
Qualche tempo fa alle.fabbri ha consigliato questo sito:
http://tutorial.math.lamar.edu/
che io consiglio a mia volta. Per questo topic la sezione da consultare è "Class notes"->"Algebra". Sono delle note molto semplici dell'ABC di algebra che bisogna sapere ogni giorno. E' tutto molto spezzettato quindi va benissimo per ripassi rapidi. Ci sono anche le sezioni di Calcolo 1, 2, 3 , di Algebra lineare e di Equazioni differenziali. NON va bene per studiare, almeno la parte teorica, perché è proprio terra-terra; ma è ottimo per ripassare e per fare esercizi.
http://tutorial.math.lamar.edu/
che io consiglio a mia volta. Per questo topic la sezione da consultare è "Class notes"->"Algebra". Sono delle note molto semplici dell'ABC di algebra che bisogna sapere ogni giorno. E' tutto molto spezzettato quindi va benissimo per ripassi rapidi. Ci sono anche le sezioni di Calcolo 1, 2, 3 , di Algebra lineare e di Equazioni differenziali. NON va bene per studiare, almeno la parte teorica, perché è proprio terra-terra; ma è ottimo per ripassare e per fare esercizi.
"mat100":
[quote="Nicole93"]se ho capito bene , ciò che non ricordi è che se il denominatore di una frazione tende ad infinito, la frazione tende a zero
in questo caso tende a uno attenzione.
[/quote]
forse non hai capito quello che intendo dire
come ripeto, se hai una frazione il cui denominatore tende ad infinito, la frazione tende SEMPRE a zero (a parte il caso di indeterminazione $oo/oo$ )
in questo caso non sono le frazioni a tendere ad 1 ( altrimenti come potresti eliminarle?) ma è il coefficiente del termine di grado massimo ad essere 1
"Nicole93":
come ripeto, se hai una frazione il cui denominatore tende ad infinito, la frazione tende SEMPRE a zero (a parte il caso di indeterminazione $oo/oo$ )
Non concordo.
Controesempio:
$lim_(x ->+oo) (x^2 sin(x))/x$
Questo limite non si presenta in forma indeterminata ed il denominatore tende ad infinito. Il limite non esiste.
Attenzione.
$lim_(x ->+oo) (x^2 sin(x))/x$
Questo limite non si presenta in forma indeterminata ed il denominatore tende ad infinito. Il limite non esiste.
Attenzione.
ma qui si parlava di funzioni razionali fratte, non di funzioni trascendenti ,e, visto le difficoltà dimostrate nella soluzione di questo semplice limite, non mi sembrava il caso di confondere le idee in merito
D'accordo. Ma quell'affermazione che hai scritto, se non specifichi che riguarda le razionali fratte, è falsa.
sì, ma è stata volutamente forzata per confutare l'affermazione completamente errata di mat100, secondo il quale le frazioni tendevano ad 1 e non a zero
Dai ragazzi, direi che vi siete capiti.
Ognuno intendeva una cosa diversa, ma l'importante è che ora è tutto chiaro.
Ognuno intendeva una cosa diversa, ma l'importante è che ora è tutto chiaro.
bravo Misanino!In effetti queste discussioni alla lunga diventano stucchevoli e infruttuose, quando invece penso che lo scopo di noi tutti non sia quello di far sfoggio di bravura ma di dare il miglior aiuto possibile a chi chiede consigli
Stucchevoli e infruttuose? Io ho solo specificato ciò che mi sembrava sbagliato che l'utente apprendesse. Lungi da me l'idea di intavolare una discussione su questa faccenda.
"Seneca":
Stucchevoli e infruttuose? Io ho solo specificato ciò che mi sembrava sbagliato che l'utente apprendesse. Lungi da me l'idea di intavolare una discussione su questa faccenda.
Ho sbagliato io nel citare... intesa che tende a 1 non era riferito alla singola frazione !.. mi scuso per il dibattito che ho fatto nascere!
cmq... a proposito di forme simili ecc... $ 0/ 0$
$\lim_{x \to \+infty} (x^2+\logx)/(x+2)$ che si riconduce a $\lim_{x \to \+infty} x^2/x [(1+logx/x^2)]/[( 1+2/x)] = $ secondo il libro ad $+infty$
Ma se il numeratore e il denominatore della 2° frazione tendono a 0, ed $x^2/x$ a $infty$ come mai risulta più infinito ?
grazie.
"mat100":
[quote="Seneca"]Stucchevoli e infruttuose? Io ho solo specificato ciò che mi sembrava sbagliato che l'utente apprendesse. Lungi da me l'idea di intavolare una discussione su questa faccenda.
Ho sbagliato io nel citare... intesa che tende a 1 non era riferito alla singola frazione !.. mi scuso per il dibattito che ho fatto nascere!
cmq... a proposito di forme simili ecc... $ 0/ 0$
$\lim_{x \to \+infty} (x^2+\logx)/(x+2)$ che si riconduce a $\lim_{x \to \+infty} x^2/x [(1+logx/x^2)]/[( 1+2/x)] = $ secondo il libro ad $+infty$
Ma se il numeratore e il denominatore della 2° frazione tendono a 0, ed $x^2/x$ a $infty$ come mai risulta più infinito ?
grazie.[/quote]
Perchè $logx/x^2$ e $2/x$ tendono a 0, di conseguenza sono ininfluenti nel calcolo del limite, quindi te consideri solo $x^2/x$ ovvero $x$ che tende logicamente a $+ oo$
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