Parte principale
Ciao
devo calcolare l'ordine di infinitesimo $alpha$ e la parte principale $Kx^alpha$ rispetto ad x per $xrarr0$ di
$e^(x/(x + 1)) - 1$ e io non so neanche da dove partire
chiaramente devo sfruttare in questo caso il seguente sviluppo $e^t - 1 = t + o(t)$ pero non posso porre $t = x/(x + 1)$
non so che fare qualcuno potrebbe aiutarmi ?
devo calcolare l'ordine di infinitesimo $alpha$ e la parte principale $Kx^alpha$ rispetto ad x per $xrarr0$ di
$e^(x/(x + 1)) - 1$ e io non so neanche da dove partire
chiaramente devo sfruttare in questo caso il seguente sviluppo $e^t - 1 = t + o(t)$ pero non posso porre $t = x/(x + 1)$
non so che fare qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Risposte
Poiché $x/(x+1)->0$ per $x->0$, si ha la stima:
$e^(x/(x+1))-1 ~~ x/(x+1)$ per $x->0$.
Quindi il problema è ricondotto a studiare come
va a 0 $x/(x+1)$ quando $x->0$. E' evidente
che quest'ultimo vada a 0 come x, perché
$x+1=1+o(1)$ per $x->0$, quindi
$x/(1+o(1))=x*(1/(1+o(1)))=x(1+o(1))~~x
in quanto essendo $(1/(1+o(1)))$ sempre
qualcosa che tende a 1, si potrà anch'esso
esprimere come $1+o(1)$, tutto ciò per $x->0$ ovviamente.
Si conclude allora che la funzione data per $x->0$
è un infinitesimo di ordine 1.
$e^(x/(x+1))-1 ~~ x/(x+1)$ per $x->0$.
Quindi il problema è ricondotto a studiare come
va a 0 $x/(x+1)$ quando $x->0$. E' evidente
che quest'ultimo vada a 0 come x, perché
$x+1=1+o(1)$ per $x->0$, quindi
$x/(1+o(1))=x*(1/(1+o(1)))=x(1+o(1))~~x
in quanto essendo $(1/(1+o(1)))$ sempre
qualcosa che tende a 1, si potrà anch'esso
esprimere come $1+o(1)$, tutto ciò per $x->0$ ovviamente.
Si conclude allora che la funzione data per $x->0$
è un infinitesimo di ordine 1.
perfetto come sempre, non riuscirò mai a raggiungere i tuoi livelli
Scusatemi se disturbo nuovamente dopo pochi minuti,
ma quest'altra funzione $1 - cos^3(2x)$ non dovrebbe essere cosi
posso vedere il tutto come $(1 - cos(2x))^3$ e quindi $(1/2(2x)^2 + o(x^2))^3 = (2x^2 + o(x^2))^3 = 8x^6 + o(x^6)$ ?
ma quest'altra funzione $1 - cos^3(2x)$ non dovrebbe essere cosi
posso vedere il tutto come $(1 - cos(2x))^3$ e quindi $(1/2(2x)^2 + o(x^2))^3 = (2x^2 + o(x^2))^3 = 8x^6 + o(x^6)$ ?
No... Devi utilizzare separatamente lo sviluppo
del coseno, senza $1-$ davanti. Si ha:
$cos(2x)=1-2x^2+o(x^2)
e quindi usando lo sviluppo $(1+x)^a=1+ax+o(x)$ per $x->0$ si ha:
$cos^3(2x) = (1-2x^2+o(x^2))^3=1-6x^2+o(x^2)
quindi $1-cos^3(2x)=6x^2+o(x^2)$ per $x->0$,
ovvero $1-cos^3(2x)~~6x^2$ per $x->0$,
da cui la funzione è un infinitesimo di ordine 2 per $x->0$.
del coseno, senza $1-$ davanti. Si ha:
$cos(2x)=1-2x^2+o(x^2)
e quindi usando lo sviluppo $(1+x)^a=1+ax+o(x)$ per $x->0$ si ha:
$cos^3(2x) = (1-2x^2+o(x^2))^3=1-6x^2+o(x^2)
quindi $1-cos^3(2x)=6x^2+o(x^2)$ per $x->0$,
ovvero $1-cos^3(2x)~~6x^2$ per $x->0$,
da cui la funzione è un infinitesimo di ordine 2 per $x->0$.
Ok, grazie
Ciao, ho un altro problema sempre con la stessa tipologia di esercizi
questa volta però ordine di infinitesimo $alpha$ e parte principale $K/x^(alpha)$ rispetto ad $1/x$ per $xrarr+oo$ di
$log((x + 3)/(x + 1)) = log(1 + 2/(x + 1))$ e adesso non posso mica scrivere $2/(x + 1) + o(2/(x + 1))$ ?, il risultato è abbastanza vicino perchè dovrebbe essere $2/x$
so che per $xrarr+oo$ diventa $x + o(x)$ ma dentro l'altro o piccolo non posso mica sviluppare
questa volta però ordine di infinitesimo $alpha$ e parte principale $K/x^(alpha)$ rispetto ad $1/x$ per $xrarr+oo$ di
$log((x + 3)/(x + 1)) = log(1 + 2/(x + 1))$ e adesso non posso mica scrivere $2/(x + 1) + o(2/(x + 1))$ ?, il risultato è abbastanza vicino perchè dovrebbe essere $2/x$
so che per $xrarr+oo$ diventa $x + o(x)$ ma dentro l'altro o piccolo non posso mica sviluppare
"baka":
non posso mica scrivere $2/(x + 1) + o(2/(x + 1))$ ?
E certo che lo puoi scrivere, se no a cosa servono i limiti notevoli?
A questo punto, sai che la funzione data va a zero come $2/(x+1)$ per $x->+oo$,
ed è ovvio che quest'ultima funzione vada a zero come $2/x$, basta mettere
in evidenza x al denominatore...
PS. Ti ho già detto di non scrivere $o(x)$ quando $x->+oo$...
"Reynolds":
PS. Ti ho già detto di non scrivere $o(x)$ quando $x->+oo$...
Hai ragione, comunque grazie
sto provando a fare il limite che hai proposto, ma la vedo dura
So che oggi ho già rotto abbastanza, ma ne ho trovato un altro
sempre per $xrarr+oo$ di $sqrt(x + 1) - sqrt(x) - 1/2*1/sqrt(x)$ a me sembrava facile però
$sqrt(x)*sqrt(1 + 1/x) - sqrt(x) - 1/2*1/sqrt(x) = sqrt(x) + 1/2*1/sqrt(x) - sqrt(x) - 1/2*1/sqrt(x) + o(1/sqrt(x))$ si semplifica tutto e mi resta $o(1/sqrt(x))$
sempre per $xrarr+oo$ di $sqrt(x + 1) - sqrt(x) - 1/2*1/sqrt(x)$ a me sembrava facile però
$sqrt(x)*sqrt(1 + 1/x) - sqrt(x) - 1/2*1/sqrt(x) = sqrt(x) + 1/2*1/sqrt(x) - sqrt(x) - 1/2*1/sqrt(x) + o(1/sqrt(x))$ si semplifica tutto e mi resta $o(1/sqrt(x))$
In questo caso bisogna sviluppare
$(1+1/x)^(1/2)$ fino al secondo ordine.
Lo sviluppo al secondo ordine di $(1+x)^a$ per $x->0$
è: $1+ax+(a(a-1))/2 x^2 + o(x^2)
Applicando questo sviluppo abbiamo che per $x->+oo$:
$(1+1/x)^(1/2) = 1 + 1/(2x) - 1/(8x^2) + o(1/x^2)
quindi sostituendo abbiamo:
$sqrtx+1/(2sqrtx)-1/(8x^(3/2)) + o(1/x^(3/2))-sqrtx-1/(2sqrtx) = -1/(8x^(3/2)) + o(1/(x^(3/2)))
quindi si tratta di un infinitesimo di ordine $3/2$ per $x->+oo$.
$(1+1/x)^(1/2)$ fino al secondo ordine.
Lo sviluppo al secondo ordine di $(1+x)^a$ per $x->0$
è: $1+ax+(a(a-1))/2 x^2 + o(x^2)
Applicando questo sviluppo abbiamo che per $x->+oo$:
$(1+1/x)^(1/2) = 1 + 1/(2x) - 1/(8x^2) + o(1/x^2)
quindi sostituendo abbiamo:
$sqrtx+1/(2sqrtx)-1/(8x^(3/2)) + o(1/x^(3/2))-sqrtx-1/(2sqrtx) = -1/(8x^(3/2)) + o(1/(x^(3/2)))
quindi si tratta di un infinitesimo di ordine $3/2$ per $x->+oo$.
Tutto chiaro, solo una cosa però
la parte principale sarebbe $1/8*1/(x^(3/2))$, giusto ? l'ordine di infinitesimo non sarebbe invece $-2/3$ ?
la parte principale sarebbe $1/8*1/(x^(3/2))$, giusto ? l'ordine di infinitesimo non sarebbe invece $-2/3$ ?
Sì, la parte principale è quella...
Perché dici che è $-2/3$? Tu stai studiando
come va a zero quella funzione per $x->+oo$,
e per studiare come va a zero devi confrontarla
con un infinitesimo campione (per esempio $1/x$,
che è quello più naturale da prendere come infinitesimo
campione), non rispetto a x, che per $x->+oo$ è un infinito...
E' l'esponente della x al denominatore
che ti dice rispetto a $1/x$ come va a zero la funzione...
Poi in ogni caso l'ordine di infinito/infinitesimo è un numero positivo.
Perché dici che è $-2/3$? Tu stai studiando
come va a zero quella funzione per $x->+oo$,
e per studiare come va a zero devi confrontarla
con un infinitesimo campione (per esempio $1/x$,
che è quello più naturale da prendere come infinitesimo
campione), non rispetto a x, che per $x->+oo$ è un infinito...
E' l'esponente della x al denominatore
che ti dice rispetto a $1/x$ come va a zero la funzione...
Poi in ogni caso l'ordine di infinito/infinitesimo è un numero positivo.
Ok, grazie ancora
come al solito io avevo frainteso
come al solito io avevo frainteso
Ciao, in questo esercizio ho un paio di dubbi
determinare ordini di infinitesimo $alpha$ e parte principale $K*x^(alpha)$ di $log(e^(2x) + 3)$
l'unica cosa che mi è venuta in mente è di spezzare il logaritmo cosi $log(e^(2x)) + log(1 + 3/x)$
adesso, non so se è giusto, ho pensato che il secondo logaritmo è inutile quindi mi interessa solamente $2x*loge = 2x$
il risultato è giusto ma dubito del mio procedimento
determinare ordini di infinitesimo $alpha$ e parte principale $K*x^(alpha)$ di $log(e^(2x) + 3)$
l'unica cosa che mi è venuta in mente è di spezzare il logaritmo cosi $log(e^(2x)) + log(1 + 3/x)$
adesso, non so se è giusto, ho pensato che il secondo logaritmo è inutile quindi mi interessa solamente $2x*loge = 2x$
il risultato è giusto ma dubito del mio procedimento
Forse non mi sono spiegato bene,
infatti non riuscivo a capire nanchio ciò che ho scritto
comunque ho risolto quindi grazie lo stesso e alla prossima
ciao
infatti non riuscivo a capire nanchio ciò che ho scritto
comunque ho risolto quindi grazie lo stesso e alla prossima
ciao
Ciao,
se devo calcolare lo sviluppo di Taylor di $sin(x)$ per $xrarrpi/2$
non posso ricondurmi in zero, $x = t + pi/2$ e quindi calcolare lo sviluppo di Mclaurin di $cos(t) = 1 - 1/2*t^2 + 1/(4!)*t^4 + o(t^5)$ ?
se devo calcolare lo sviluppo di Taylor di $sin(x)$ per $xrarrpi/2$
non posso ricondurmi in zero, $x = t + pi/2$ e quindi calcolare lo sviluppo di Mclaurin di $cos(t) = 1 - 1/2*t^2 + 1/(4!)*t^4 + o(t^5)$ ?
E certo che puoi farlo... Anzi, direi che
è un modo molto intelligente per scrivere
lo sviluppo di Taylor di $sinx$ centrato
in $x=pi/2$, anziché procedere utilizzando la definizione.
è un modo molto intelligente per scrivere
lo sviluppo di Taylor di $sinx$ centrato
in $x=pi/2$, anziché procedere utilizzando la definizione.
Ok capito, grazie 
Ho un altro problema riguardo lo sviluppo di McLaurin di questa funzione
$log(2 - cos(x))$, ho riscritto il logaritmo come $log2 + log(1 - 1/2*cos(x))$ devo sviluppare fino all'ordine 4
dovrebbe essere cosi $log2 + (-1/2*cos(x)) - 1/2(-1/2*cos(x))^2 + 1/3(-1/2*cos(x))^3 - 1/4(-1/2*cos(x))^4 + o(cos^4(x))$
tralasciando i lunghi e noiosi calcoli, il risultato finale non quadra per niente tra l'altro non compare neanche quel
$log2$ quindi potrebbe essere sbagliato tutto il mio procedimento ma come posso sviluppare altrimenti $log(2 - cos(x))$ ?
$log(2 - cos(x))$, ho riscritto il logaritmo come $log2 + log(1 - 1/2*cos(x))$ devo sviluppare fino all'ordine 4
dovrebbe essere cosi $log2 + (-1/2*cos(x)) - 1/2(-1/2*cos(x))^2 + 1/3(-1/2*cos(x))^3 - 1/4(-1/2*cos(x))^4 + o(cos^4(x))$
tralasciando i lunghi e noiosi calcoli, il risultato finale non quadra per niente tra l'altro non compare neanche quel
$log2$ quindi potrebbe essere sbagliato tutto il mio procedimento ma come posso sviluppare altrimenti $log(2 - cos(x))$ ?
In $RR$: $log(2 - 2y) = log(2) + \log(1 - y) = \log(2) - \sum_{k=1}^\infty y^k/k$, se $-1 \le y < 1$. Poni $y = \frac{1}{2} cos(x)$ ed è fatta.
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