Parte Principale (1/x)

[JACO92_K2]

Avrei bisogno di un chiarimento sulla distribuzione P(1/x) in particolare come dimostro che
$ x*P(1/x)=1 $ ????
applicando la distribuzione alla funzione in questione "x" ne ottengo
$lim_(\epsilon->0^+)\ \int_(|x|>\epsilon) x/x\ \text{d} x =\ \int_(|x|>\epsilon) 1 \ \text{d} x= \infty$
cosa sto sbagliando???
grazie

[Paolo902]

E no, sbagli. Il prodotto di una $f \in C^{\infty}(\Omega)$ per una distribuzione non si fa come stai facendo tu; se $T$ è una distribuzione, il prodotto $fT$ è una distribuzione che si definisce in questo modo
\[
f T(\phi):=T(f \phi)
\]
per ogni test $\varphi$ (la definizione ha senso in quanto \( f\phi \in C^{\infty}_c(\Omega)\)). Ora nel tuo caso $f(x)=x$ e dunque
\[
fT(\phi) =xT(\phi)=T(x\phi) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\vert x \vert > \varepsilon} \frac{x\phi(x)}{x}dx = \int_{\mathbb R} \phi(x)dx.
\]

Per ulteriori approfondimenti, consiglio questo.

P.S. Benvenuto tra noi.
[size=60]P.P.S. 4000! [/size]

[JACO92_K2]

ok se mi attengo alla formula da te scritta otterrei
$\int_RR 1/x dx$ ma questo non è un'integrale divergente??
o il fatto che $f\varphi in C_c^oo$ ossia la compattezza dello spazio mi evita il problema della divergenza dell'integrale?
ho capito male?

[Paolo902]

Prova a rileggere il mio post con calma (e ad applicare correttamente la formula che ti ho scritto, anche se ti ho già fatto praticamente "tutto" io sopra).