Parametrizzazione
ciao a tutti..sto tentando di parametrizzare una curva espressa in coordinate polari da $r(t)=5cos(t)$
con $t in [0,3/(pi4)] $
qualcuno MOLTO GENTILMENTE potrebbe spiegarmi la procedura da seguire ? lo so che dovrei fornire un'idea...ma non so proprio come procedere...ve ne sarei molto grato
grazie !
con $t in [0,3/(pi4)] $
qualcuno MOLTO GENTILMENTE potrebbe spiegarmi la procedura da seguire ? lo so che dovrei fornire un'idea...ma non so proprio come procedere...ve ne sarei molto grato
grazie !
Risposte
Bè, se ho capito quello che stai dicendo e non dico una fesseria, credo tu debba solo usare la legge che lega coordinate cartesiane a coordinate polari. Poiché mi sembra di capire che per te $t=\theta$ è l'angolo, dovresti avere
[tex]$x=r\cos t=5\cos^2 t,\qquad y=r\sin t=5\sin t\cos t$[/tex]
[tex]$x=r\cos t=5\cos^2 t,\qquad y=r\sin t=5\sin t\cos t$[/tex]
grazie ! e per ottenere le coordinate cartesiane ?
Mmmm... direi così: dal momento che
[tex]$y^2=25\sin^2 t\cos^2 t=5(1-\cos^2 t)\cdot 5\cos^2 t=(5-5\cos^2 t)\cdot 5\cos^2 t$[/tex]
usando il valore noto di $x$ ottieni
[tex]y=(5-x)\cdot x\ \Rightarrow\ y=-x^2+5x$[/tex] (una parabola)
[tex]$y^2=25\sin^2 t\cos^2 t=5(1-\cos^2 t)\cdot 5\cos^2 t=(5-5\cos^2 t)\cdot 5\cos^2 t$[/tex]
usando il valore noto di $x$ ottieni
[tex]y=(5-x)\cdot x\ \Rightarrow\ y=-x^2+5x$[/tex] (una parabola)
oook grazie mille ! 
gentilissimo !
gentilissimo !
non è probabile che venga $x^2+y^2-5x=0$ ??
perchè in definitiva devo trovare la lunghezza di questa curva...e se uso l'equazione $(5cos^2(t))i+(5sin(t)cos(t))j $ e vado a trovare la lunghezza ottengo $5t$
mentre usando le coordinate cartesiane $(x-5/2)^2+y^2=25/4$ e passando a quelle parametriche $(5/2+5/2cos(t))i+(5/2sin(t))j$ poi andando a trovare la lunghezza ottengo $5t/2$
aiuto non ne vengo più fuori !
mentre usando le coordinate cartesiane $(x-5/2)^2+y^2=25/4$ e passando a quelle parametriche $(5/2+5/2cos(t))i+(5/2sin(t))j$ poi andando a trovare la lunghezza ottengo $5t/2$
aiuto non ne vengo più fuori !
Ah sì, scusa. Ho scritto una cosa e detto un'altra. Avevo elevato $y$ al quadrato e po me lo sono dimenticato! 
La forma cartesiana è [tex]$y^2=-x^2+5x$[/tex].
La forma cartesiana è [tex]$y^2=-x^2+5x$[/tex].
capito...mmm e per passare da queste a quelle parametriche dimenticandosi quelle polari come si potrebbe fare ??
grazie dell'aiuto !
grazie dell'aiuto !
nessuno che riesca ad aiutarmi ? 
Guarda, puoi procedere in due modi: o usi la parametrizzazione polare standard della circonferenza, per cui se hai centro $C(\alpha,\beta)$ e raggio $r$ puoi scrivere
[tex]$x=\alpha+r\cos t,\qquad y=\beta+r\sin t$[/tex]
oppure usi la parametrizzazione "razionale"
[tex]$x=\alpha+r\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad y=\beta+r\frac{2t}{1+t^2}$[/tex]
[tex]$x=\alpha+r\cos t,\qquad y=\beta+r\sin t$[/tex]
oppure usi la parametrizzazione "razionale"
[tex]$x=\alpha+r\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad y=\beta+r\frac{2t}{1+t^2}$[/tex]
quindi nel mio caso $x=5/2+5/2 sin(t)$ ma la $y$ ?? ho un dubbio su quella !
L'equazione della circonferenza è
[tex]$x^2+y^2-5x=0\ \Rightarrow\ (x-5/2)^2+y^2=\frac{25}{4}$[/tex]
per cui $C(\frac{5}{2},0)$ e $r=5/2$. Avrai allora
[tex]$x=\frac{5}{2}\left(1+\cos t\right),\qquad y=\frac{5}{2}\sin t$[/tex]
[tex]$x^2+y^2-5x=0\ \Rightarrow\ (x-5/2)^2+y^2=\frac{25}{4}$[/tex]
per cui $C(\frac{5}{2},0)$ e $r=5/2$. Avrai allora
[tex]$x=\frac{5}{2}\left(1+\cos t\right),\qquad y=\frac{5}{2}\sin t$[/tex]
ok però c'è qualcosa che non torna...ti spiego...
una parametrizzazione che deriva dalle coordinate polari è $r(t)=5cos^2(t)+cos(t)sin(t) $
l'altra parametrizzazione,derivante dall'equazione cartesiana della circonferenza è $x=5/2(1+cos(t)),y=5/2 sin(t) $
andando a calcolare la lunghezza di queste due curve....mi vengono due risultati diversi...non dovrebbero essere uguali ?
una parametrizzazione che deriva dalle coordinate polari è $r(t)=5cos^2(t)+cos(t)sin(t) $
l'altra parametrizzazione,derivante dall'equazione cartesiana della circonferenza è $x=5/2(1+cos(t)),y=5/2 sin(t) $
andando a calcolare la lunghezza di queste due curve....mi vengono due risultati diversi...non dovrebbero essere uguali ?
Il fatto è che la $t$ nella prima parametrizzazione e la $t$ nell'ultima rappresentano due cose differenti.
capisco....che dire....gentilissimo ! scusa del disturbo !
grazie mille !
grazie mille !
"geo696":
capisco....che dire....gentilissimo ! scusa del disturbo !
grazie mille !
Ma figurati. Guarda, poi se ho tempo, possiamo anche parlare di questa faccenda delle parametrizzazioni in forma un po' più generale.
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