Parametrizzare una superficie con curva ad una variabile

[asker993]

ciao a tutti, stavo pensando, dato che, da quello che ho capito una curva $r:R^n->R^m$, se $n=1$, $m=2$ questa definisce una curva sul piano $x-y$ per esempio, se $m=3$ definisce una curva nello spazio; se però adesso $n=2$ abbiamo due variabili e nel caso di $m=3$ dovrebbe definire una superficie se non sbaglio, mentre, se $n=3$ definisce un volume. Però, stavo pensando, c'è un qualche modo di definire una superficie nello spazio o nel piano se $n=1$ e $m=3$ o $m=2$ cioè, è possibile che una funzione in una variabile possa definire una superficie? Per esempio se vogliam parametrizzare la superficie del cerchio in $R^2$ facciamo che $r:R^2->R^2$ ---> $x=pcos(t), y=psen(t)$ $t [0,2pi]$, $p[0,R]$ e così abbiamo parametrizzato quello che ci serviva, però, non esiste una funzione $r:R->R^2$ che possa parametrizzare allo stesso modo? Mi spiegate bene questo passaggio? Perchè io penso che si potrebbe fare una curva dipendente da una variabile che fa tantissime curve su se stessa formando la superficie del cerchio....ovviamente a livello intuitivo, c'ho pensato abbastanza ma non capisco bene sta cosa...

[asker993]

Qualcuno che può aiutarmi a risolvere questo dubbio? grazie..

[asker993]

up

[vict85]

Una curva sufficientemente "irregolare" può ricoprire una superficie.http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Peano

Se supponiamo maggiore regolarità della curva allora la dimensione dello spazio diventa una proprietà invariante.

[asker993]

wow, grazie, molto interessante, immagino allora il motivo per cui non si usi comunemente questo metodo sia la difficoltà nel rappresentare in forma parametrica una curva del genere, dato che ci sarebbero limiti di mezzo, altrimenti penso che se si potesse farlo in modo non troppo complicato porterebbe a dei vantaggi non da poco in certi esercizi...o sbaglio?

[vict85]

Non direi, la regolarità è ben più utile dell'usare poche variabili. Anche perché, seppur la funzione di Peano è continua, non è un omeomorfismo rispetto alla sua immagine (se non ricordo male).