Panico. Non riesco a calcolare questi limiti

[kevinpirola]

Sono in panico... non mi vengono questi limiti (sarà che è 6 ore che sto facendo esercizi e sono anche un po' fuso) però non riesco a trovare soluzioni per questi limiti:

(devo calcolare limite dx e sx delle derivate di queste funzioni)

1)
$f(x) = arcsin((a^2-x^2)/(a^2 + x^2))$

la sua derivata:

$f'(x) = 1/sqrt(1-((a^2 - x^2)/(a^2 + x^2))^2) * ((-2x)(a^2+x^2)-2x(a^2-x^2))/(a^2+x^2)^2 = $

$= (a^2+x^2)/sqrt((a^2+x^2)^2-(a^2-x^2)^2) * (-2a^2x - 2x^3 - 2a^2x + 2x^3)/(a^2+x^2)^2 =$

$= 1/sqrt(a^4 + x^4 +2a^2x^2 -a^4 -x^4+2a^2x^2) *(-4a^2x)/(a^2+x^2) = $

$= -2a/(a^2+x^2)$

Non sono sicuro che sia giusta però. di questa devo calcolare il limite per trovare il valore della derivata in 0.

2)
$ d(x) = x/(1+e^(1/x)) [ x!=0 ~ d(0) = 0]$

la sua derivata è:

$(x+ e^(1/x)(x+1))/((e^(1/x)+1)^2 x)$

e anche qui non riesco a calcolare il limite.

G

[salvozungri]

"kevinpirola":Sono in panico... non mi vengono questi limiti (sarà che è 6 ore che sto facendo esercizi e sono anche un po' fuso) però non riesco a trovare soluzioni per questi limiti:

(devo calcolare limite dx e sx delle derivate di queste funzioni)

1)
$f(x) = arcsin((a^2-x^2)/(a^2 + x^2))$

la sua derivata:

$f'(x) = 1/sqrt(1-((a^2 - x^2)/(a^2 + x^2))^2) * ((-2x)(a^2+x^2)-2x(a^2-x^2))/(a^2+x^2)^2 = $

$= (a^2+x^2)/sqrt((a^2+x^2)^2-(a^2-x^2)^2) * (-2a^2x - 2x^3 - 2a^2x + 2x^3)/(a^2+x^2)^2 =$

$= 1/sqrt(a^4 + x^4 +2a^2x^2 -a^4 -x^4+2a^2x^2) *(-4a^2x)/(a^2+x^2) = $

$= -2a/(a^2+x^2)$

Non sono sicuro che sia giusta però. di questa devo calcolare il limite per trovare il valore della derivata in 0.

$=\frac{1}{\sqrt{4 a^2 x^2}}*\frac{-4 a^2x}{a^2+x^2}= -\frac{1}{|a||x|}*\frac{2 a^2 x}{a^2+ x^2}=\cdots$

Ricorda che:

[tex]\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases}x&\mbox{ se }x\ge0\\-x&\mbox{ se }x<0\end{cases}[/tex]

"kevinpirola":
2)
$ d(x) = x/(1+e^(1/x)) [ x!=0 ~ d(0) = 0]$

la sua derivata è:

$(x+ e^(1/x)(x+1))/((e^(1/x)+1)^2 x)$

e anche qui non riesco a calcolare il limite.

G

Questa mi pare corretta. Bene ora respira e con calma mi dici quali problemi hai con i limiti

[kevinpirola]

Immagino che sul primo non si possa più semplificare oltre, ed è questo che mi incasina, perchè della x posso sapere se è > o < di 0 (limite d o sx), della a invece no.

Ci ho pensato un attimo e paradossalmente potrei anche sbattermene, tanto se semplifico la a, che sia positiva o negativa alla fine il segno mi resta lo stesso corretto, prima ho $1/a * a^2$ poi resto ad avere $a$ nel primo caso ho in tutto "tre" a, quindi qualsiasi segno abbia esso prevale (regola dei segni), nel secondo caso ne ho meno ma sempre in numero dispari (una sola) perciò il segno permane per forza uguale anche se ho semplificato. Lo stesso non vale con la x, ma della x so il valore.

Perciò il limite diventa:

$lim_{x \to 0} -1/|x| * 2ax/(a^2+x^2)$

e i due casi sono:

$lim_{x \to 0^+} -1/x * 2ax/(a^2+x^2) = -2a/(a^2+0) = -2/a$

e

$lim_{x \to 0^-} -1/-x * 2ax/(a^2+x^2) = 2a/(a^2 + 0) = 2/a$

e sono i risultati corretti.


Per il secondo sinceramente dopo aver semplificato la derivata a quella forma non saprei cosa fare.
E' una forma $0/0$ ma l'hopital non aiuta per via degli esponenziali... stavo pensando a taylor ma questo esercizio sul libro è posto prima di entrambi (sia hospital che taylor e mac laurin) perciò sicuramente si può risolvere in qualche modo...

[Quinzio]

Per il secondo esercizio bisognerebbe:
- intuire che il risultato è 0.
- si può provare con una maggiorazione, se la maggiorazione va a zero, a maggior ragione va a zero il limite originale.
Siccome abbiamo una frazione, si aumenta il numeratore e/o si diminuisce il denominatore.
Es:
$(x+e^(1/x)(x+1))/(x(e^(1/x)+1)^2) < (3xe^(1/x))/(xe^(2/x))=3/(e^(1/x))$

Questo per derivata destra, da sinistra, è evidente che la derivata è 1.

[salvozungri]

"kevinpirola":Immagino che sul primo non si possa più semplificare oltre, ed è questo che mi incasina, perchè della x posso sapere se è > o < di 0 (limite d o sx), della a invece no.

Ci ho pensato un attimo e paradossalmente potrei anche sbattermene, tanto se semplifico la a, che sia positiva o negativa alla fine il segno mi resta lo stesso corretto, prima ho $1/a * a^2$ poi resto ad avere $a$ nel primo caso ho in tutto "tre" a, quindi qualsiasi segno abbia esso prevale (regola dei segni), nel secondo caso ne ho meno ma sempre in numero dispari (una sola) perciò il segno permane per forza uguale anche se ho semplificato. Lo stesso non vale con la x, ma della x so il valore.


[Omissis]

Non lo puoi fare, la semplificazione effettuata non tiene conto del segno di a. Volendo semplificare:

$-1/(|a||x| )*(2a^2x)/(a^2+x^2)=-a/|a| x/|x| * (2a)/(a^2+x^2)= -|a|/a \mbox{sign}(x) (2a)/(a^2+x^2)=$

$-(2\mbox{sign}(x)|a|)/(a^2+x^2)\quad\forall x, a\ne 0$

Se non ho interpretato male, il tuo ragionamento funziona solo se $a>0$, mentre è fallace quando $a<0$
Poi non abbiamo considerato il caso (banale) in cui $a=0$.

[kevinpirola]

e perciò come risolvo il primo limite? A questo punto non riesco a capire come arrivare alla soluzione, se A non lo conosco... dipende dal segno di X, ma alla fine dovrebbe restarmi il modulo su a o no?

[salvozungri]

$\lim_{x\to 0^+}-\frac{2 \mbox{sign}(x)|a|}{a^2+x^2}=-2|a|/a^2 $

$\lim_{x\to 0^-}-\frac{2 \mbox{sign}(x)|a|}{a^2+x^2}=2|a|/a^2 $

Questo per $a\ne 0$

Il perché è semplice. Il parametro $a$ non dipende da $x$, pertanto non viene intaccato in alcun modo dal limite.

[kevinpirola]

ok, ma allora perchè il libro e pure wolfram del modulo se ne fregano e mi danno il risultato -2/a e 2/a ?

[salvozungri]

A me wolfram dà un altro risultato ... , mi fai vedere il link gentilmente?

[kevinpirola]

forse perchè ho messo la versione sbagliata di derivata.

Comunque il libro dà proprio quel risultato.