Ottimizzazione vincolata per coraggiosi
Salve a tutti.
Ho questo problema ti ottimizzazione vincolata da cui non riesco a districarmi. Vi posto il testo e qualche considerazione.
Verificare che l’insieme $ V = \{ (x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, x + 2y + 3z = 0 \}$ è un vincolo regolare. Studiare massimi e minimi di $f(x,y,z) = x^2+2y^2+3z^2$ sul vincolo $V$.
Il controllo sulla regolarità è banale, invece l'ottimizzazione non lo è perché o mi ritrovo a lavorare con due moltiplicatori oppure sostituendo un'equazione del vincolo nell'altra e quindi intersecando sfera e piano ì, poi applicando i moltiplicatori trovo valori di lambda enormi e bruttissimi mentre il professore sostiene non debba venire nulla di strano. Grazie a tutti gli smanettoni che si vorranno cimentare nell'impresa !!!!
Ho questo problema ti ottimizzazione vincolata da cui non riesco a districarmi. Vi posto il testo e qualche considerazione.
Verificare che l’insieme $ V = \{ (x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, x + 2y + 3z = 0 \}$ è un vincolo regolare. Studiare massimi e minimi di $f(x,y,z) = x^2+2y^2+3z^2$ sul vincolo $V$.
Il controllo sulla regolarità è banale, invece l'ottimizzazione non lo è perché o mi ritrovo a lavorare con due moltiplicatori oppure sostituendo un'equazione del vincolo nell'altra e quindi intersecando sfera e piano ì, poi applicando i moltiplicatori trovo valori di lambda enormi e bruttissimi mentre il professore sostiene non debba venire nulla di strano. Grazie a tutti gli smanettoni che si vorranno cimentare nell'impresa !!!!
Risposte
Ma infatti non pare proprio nulla di strano.
Posta i conti, se vuoi.
Bel termine per ringraziare...
Posta i conti, se vuoi.
"ACAM97":
Grazie a tutti gli smanettoni che si vorranno cimentare nell'impresa !!!!
Bel termine per ringraziare...
Innanzitutto non voleva essere offensivo ma ironico dato che mi includo tra gli smanettoni. Allora io ho sostituito un eq in un'altr del vincolo così
V ={
1) $x^2+y^2+z^2=1$
2) $x+2y+3z=0$
}
ricavo $z= (-2x-2y)/3$ dalla 2) e la sostituisco nella 1). La 1) dopo qualche passaggio risulta essere $10x^2+13y^2+12xy-9=0$. Ora sostituisco z anche nella f(x,y) da minimizzare (NB è il passaggio che non sono sicura sia giusto) e mi ritrovo : f= $4/3x^2+10/3y^2+4xy$
Quindi mi sposto ad un ott vincolata di due variabili e ottengo il seguente sistema :
$\{(8/3x = L(20x+12y)),(20/3y=L(26y+12x)),(10x^2+13y^2+12xy-9=0):}$
Da qui ho isolato nella prima e nella seconda y/x per ottenere L che ha un valore 336/5 + una radice dell'ordine di 10^3. Ora errori di conto a parte non capisco se il procedimento sia corretto. Grazie ancora !
V ={
1) $x^2+y^2+z^2=1$
2) $x+2y+3z=0$
}
ricavo $z= (-2x-2y)/3$ dalla 2) e la sostituisco nella 1). La 1) dopo qualche passaggio risulta essere $10x^2+13y^2+12xy-9=0$. Ora sostituisco z anche nella f(x,y) da minimizzare (NB è il passaggio che non sono sicura sia giusto) e mi ritrovo : f= $4/3x^2+10/3y^2+4xy$
Quindi mi sposto ad un ott vincolata di due variabili e ottengo il seguente sistema :
$\{(8/3x = L(20x+12y)),(20/3y=L(26y+12x)),(10x^2+13y^2+12xy-9=0):}$
Da qui ho isolato nella prima e nella seconda y/x per ottenere L che ha un valore 336/5 + una radice dell'ordine di 10^3. Ora errori di conto a parte non capisco se il procedimento sia corretto. Grazie ancora !
Forse conviene usare due moltiplicatori.
Prova un po’, che io adesso sto correggendo compiti.
Prova un po’, che io adesso sto correggendo compiti.
"ACAM97":
ricavo $z= (-2x-2y)/3$ dalla 2) e la sostituisco nella 1). La 1) dopo qualche passaggio risulta essere $10x^2+13y^2+12xy-9=0$.
$z= (-x-2y)/3$
Inoltre il vincolo non è definito. Non c'è una disequazione sul vincolo del piano?
Si hai ragione per l’errore ora lo metto aposto e vedo cosa esce. In che senso sul piano ? Io se interseco i due vincoli avrei un disco che però non risulta visibile perchè non nel piano xy.
Rettifico, ho riguardato i conti e ho copiato male sul forum ma tutto il procedimento è stato fatto con z ricavata esattamente
"ACAM97":
Si hai ragione per l’errore ora lo metto aposto e vedo cosa esce. In che senso sul piano ? Io se interseco i due vincoli avrei un disco che però non risulta visibile perchè non nel piano xy.
E' un piano che passa per l'origine e taglia una sfera centrata sull'origine, quindi la sezione sul piano è una circonferenza di raggio 1.
Il piano taglia in due la sfera ma non è specificato quale delle due semisfere considerare come vincolo...per questo mi attendevo che il problema dicesse $x + 2y + 3z >= 0$ oppure $x + 2y + 3z <= 0$
"ACAM97":
Rettifico, ho riguardato i conti e ho copiato male sul forum ma tutto il procedimento è stato fatto con z ricavata esattamente
E come può essere corretto questo risultato $10x^2+13y^2+12xy-9=0$?
Ti verrà fuori $4x^2+7y^2+4xy=3$, no?
No ho appena ricontrollato il testo per sicurezza ma non ci sono maggiori uguali ne’ minori uguali..ho capito cosa vuoi dirmi...hai ragione ma resta comunque il fatto che ho anche provato con due moltiplicatori e allo stesso modo trovo dei conti non palusibili..
"ACAM97":
No ho appena ricontrollato il testo per sicurezza ma non ci sono maggiori uguali ne’ minori uguali..ho capito cosa vuoi dirmi...hai ragione ma resta comunque il fatto che ho anche provato con due moltiplicatori e allo stesso modo trovo dei conti non palusibili..
Ok, quindi il problema è davvero solo vincolato all'intersezione.
"Bokonon":
[quote="ACAM97"]Rettifico, ho riguardato i conti e ho copiato male sul forum ma tutto il procedimento è stato fatto con z ricavata esattamente
E come può essere corretto questo risultato $10x^2+13y^2+12xy-9=0$?
Ti verrà fuori $4x^2+7y^2+4xy=3$, no?[/quote]
Si avevo sbagliato il doppioprodotto ma continua a non essere come il tuo, hai sostituito z alla prima eq del vincolo ??
Allora riassumiamo il problema. Il vincolo si riduce $10x^2+13y^2+4xy-9=0$ (la proiezione della circonferenza sul piano XY che diventa un bella ellisse) e $z=(-x-2y)/3$ (da cui ti calcolerai la terza componente dei punti che troverai).
$f(x,y,z)=1/3(4x^2+10y^2+4xy)$
Ponendo le derivate parziali =0 troverai un primo punto $(0,0)$ e dovrai determinare se sta all'interno dell'ellisse altrimenti lo scarterai.
Poi analizzerai la frontiera col sistema di Lagrange:
$ { ( 1/3(8x+4y)=lambda(20x+4y) ),( 1/3(20y+4x)=lambda(26y+4x) ),(10x^2+13y^2+4xy-9=0):} $
Alla fine troverai i punti e agigungerai la componente z e sostituirai della f(x,y,z) iniziale per vedere quali sono i massimi e quali sono i minimi.
Buon lavoro!
$f(x,y,z)=1/3(4x^2+10y^2+4xy)$
Ponendo le derivate parziali =0 troverai un primo punto $(0,0)$ e dovrai determinare se sta all'interno dell'ellisse altrimenti lo scarterai.
Poi analizzerai la frontiera col sistema di Lagrange:
$ { ( 1/3(8x+4y)=lambda(20x+4y) ),( 1/3(20y+4x)=lambda(26y+4x) ),(10x^2+13y^2+4xy-9=0):} $
Alla fine troverai i punti e agigungerai la componente z e sostituirai della f(x,y,z) iniziale per vedere quali sono i massimi e quali sono i minimi.
Buon lavoro!
"ACAM97":
Si avevo sbagliato il doppioprodotto ma continua a non essere come il tuo, hai sostituito z alla prima eq del vincolo ??
Hai ragione
Prima ho fatto a mente e non ho elevato al quadrato 3
$z=(-x-2y)/3$ e $x^2+y^2+z^2=1$
Quindi $9x^2+9y^2+(-x-2y)^2=9$
Ovvero $10x^2+13y^2+4xy-9=0$
Il procedimento comunque resta quello.
Rifai i conti però
Ho modificato il post precedente con la procedura e (spero) con tutti i conti esatti!
In ogni caso siccome l’ho già mostrato a due dottorandi in dipartimento sarei tanto grata a qualcuno che ha tempo se prendesse carta e penna e con 2 moltiplicatori o esplicitando il vincolo lo risolvesse e mi dicesse cosa ha trovato...entrambi i porecedimenti sono banali quindi non c’è altro modo.
"Bokonon":
Ho modificato il post precedente con la procedura e (spero) con tutti i conti esatti!
Riprovato per la n-esima volta...ho ricavato y/x dalla prima e dalla seconda e cercato lambda...che ha un valore non plausibile grazie comunque
Allora avevo dato un'occhiata...ed hai ragione a dire che è un problema davvero noioso.
Ricorda che non devi necessariamente trovare i $lambda$ per trovare i punti.
Io ho proceduto così. Ho ricavato $3lambda=quello che è$ dalle prime due equazioni ed ho uguagliato i termini.
Così facendo ho ricavato l'equazione $2x^2-y^2+8xy=0$ e l'ho messa a sistema col vincolo.
Ho moltiplicato questa equazione per 5 e poi l'ho sottratta dal vincolo, ottenendo $2y^2-4xy-1=0$ da cui $x=(2y^2-1)/(4y)$
Ho sostituito nella $2x^2-y^2+8xy=0$ ed ho ottenuto l'equazione $28y^4-20y^2+1=0$ da cui ho derivato le 4 orribili radici $y=+-sqrt((5+-3sqrt(2))/14)$
Poi mi sono fermato e non ho ricavato i punti perchè mi sono rotto gli zebedei.
Se non ho commesso errori di calcolo...quelli sono i punti
Ricorda che non devi necessariamente trovare i $lambda$ per trovare i punti.
Io ho proceduto così. Ho ricavato $3lambda=quello che è$ dalle prime due equazioni ed ho uguagliato i termini.
Così facendo ho ricavato l'equazione $2x^2-y^2+8xy=0$ e l'ho messa a sistema col vincolo.
Ho moltiplicato questa equazione per 5 e poi l'ho sottratta dal vincolo, ottenendo $2y^2-4xy-1=0$ da cui $x=(2y^2-1)/(4y)$
Ho sostituito nella $2x^2-y^2+8xy=0$ ed ho ottenuto l'equazione $28y^4-20y^2+1=0$ da cui ho derivato le 4 orribili radici $y=+-sqrt((5+-3sqrt(2))/14)$
Poi mi sono fermato e non ho ricavato i punti perchè mi sono rotto gli zebedei.
Se non ho commesso errori di calcolo...quelli sono i punti
I valori vengono brutti assai.
Immagino che chi ha assegnato il problema non si sia posto il problema di risolverlo “a mano”.
Il consiglio è: lascia perdere, tanto un esercizio del genere non mette e non toglie nulla alla tua preparazione.
Immagino che chi ha assegnato il problema non si sia posto il problema di risolverlo “a mano”.
Il consiglio è: lascia perdere, tanto un esercizio del genere non mette e non toglie nulla alla tua preparazione.
"gugo82":
Il consiglio è: lascia perdere, tanto un esercizio del genere non mette e non toglie nulla alla tua preparazione.
Concordo, manco a dirlo...
La parte "ragioneristica" è totalmente superflua in un esercizio.
Però la mie sensazioni sono che:
a) non sapesse come procedere senza "ricavare" le costanti di proporzionalità. Quindi in generale l'esercizio può essere utile.
b) quella funzione f(x,y,z) forse non avesse il termine z al quadrato. A naso sarebbe venuto fuori un esercizio decisamente più semplice.
"Bokonon":
La parte "ragioneristica" è totalmente superflua in un esercizio.
Mica tanto … sai quante cantonate si prendono per non essere andati fino in fondo e non aver verificato quanto ipotizzato?
E un po' di pratica con i conti, non fa male …
Poi, con l'esperienza, si capisce quando non vale la pena andare avanti perché è una perdita di tempo …
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